25、线性代数方程组求解与矩阵运算

线性代数方程组求解与矩阵运算

在许多应用中，求解线性代数方程组是非常重要的。在MATLAB中，求解方程组主要有两种方法：使用矩阵表示和使用 solve 函数（属于符号数学工具箱）。本文将先介绍矩阵和向量的运算，然后利用这些知识来求解线性代数方程组。

1. 矩阵定义

矩阵可以看作是一个包含行和列的数值表格。矩阵$A$（有时写作$[A]$）的一般形式为：
[
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
]
其中$i = 1, \cdots, m$；$j = 1, \cdots, n$，该矩阵有$m$行$n$列，大小为$m \times n$。

向量是矩阵的特殊情况，当矩阵的某一个维度（$m$或$n$）为1时就是向量。行向量是$1 \times n$的矩阵，列向量是$m \times 1$的矩阵。标量是矩阵的另一种特殊情况，此时$m$和$n$都为1，即一个单一的值或$1 \times 1$的矩阵。

2. 矩阵性质

• 矩阵相等 ：两个矩阵相等，当且仅当它们所有对应的元素都相等，且大小相同。可以通过以下自定义函数来判断两个矩阵是否相等：

function myflag = myisequal(mata,matb)
    % Assume that it’s true that they are the same
    % until and unless corresponding elements are
    % found that are not the same
    myflag = logical(1);
    [r c] = size(mata);
    if all(size(mata) ~= size(matb))
        myflag = logical(0);
    else
        for i=1:r
            for j = 1:c
                if mata(i,j) ~= matb(i,j)
                    myflag = logical(0);
                end
            end
        end
    end
end

在MATLAB中，也可以使用 isequal 函数来实现相同的功能。

3. 方阵相关概念

• 主对角线 ：方阵中，行和列索引相同的元素组成主对角线。例如矩阵
  [
  \begin{bmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 \
  5 & 6 & 7 & 8 \
  9 & 10 & 11 & 12 \
  13 & 14 & 15 & 16
  \end{bmatrix}
  ]
  的主对角线元素为1, 6, 11, 16。在MATLAB中，可以使用 diag 函数获取矩阵的主对角线元素，示例如下：

mymat = reshape(1:16,4,4)';
diag(mymat)'

• 迹 ：方阵的迹是主对角线上所有元素的和。可以通过以下自定义函数计算方阵的迹：

function outsum = mytrace(mymat)
    % Calculates the trace of a square matrix
    % It returns an empty vector if the
    % matrix is not square
    [r c] = size(mymat);
    if r ~= c
        outsum = [];
    else
        outsum = 0;
        for i = 1:r
            outsum = outsum + mymat(i,i);
        end
    end
end

在MATLAB中，也可以使用内置的 trace 函数来计算。
- 对称矩阵 ：如果方阵满足$a_{ij} = a_{ji}$，则该矩阵为对称矩阵。例如矩阵
[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 9 \
2 & 5 & 4 \
9 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]
是对称矩阵。
- 对角矩阵 ：如果方阵中除主对角线元素外其他元素都为0，则该矩阵为对角矩阵。可以使用 diag 函数将一个长度为$n$的向量转换为$n \times n$的对角矩阵，示例如下：

v = 1:4;
diag(v)

• 单位矩阵 ：单位矩阵$[I]$满足$a_{ij} = 1$（$i = j$）且$a_{ij} = 0$（$i \neq j$）。在MATLAB中，可以使用 eye 函数创建$n \times n$的单位矩阵，示例如下：

eye(5)

• 带状矩阵和三角矩阵 ：带状矩阵除主对角线和相邻对角线外其他元素都为0，其中一种特殊的带状矩阵是三对角矩阵。下三角矩阵主对角线以上元素都为0，上三角矩阵主对角线以下元素都为0。在MATLAB中，可以使用 triu 和 tril 函数将矩阵转换为上三角矩阵和下三角矩阵，示例如下：

mymat = reshape(1:16,4,4)';
triu(mymat)
tril(mymat)

4. 矩阵运算

• 矩阵加法和减法 ：矩阵加法和减法是对应元素相加减，要求两个矩阵大小相同。可以通过以下自定义函数实现矩阵加法：

function outmat = mymatadd(mat1,mat2)
    % Returns the sum of two matrices
    % or [] if they are not the same size
    outmat = [];
    if all(size(mat1) == size(mat2))
        outmat = zeros(size(mat1)); % preallocate
        [r c] = size(mat1);
        for i = 1:r
            for j = 1:c
                outmat(i,j) = mat1(i,j) + mat2(i,j);
            end
        end
    end
end

在MATLAB中，直接使用 + 和 - 运算符即可实现矩阵加法和减法。
- 标量乘法 ：标量乘法是将矩阵的每个元素乘以一个标量。在MATLAB中，使用 * 运算符即可实现。
- 矩阵乘法 ：矩阵乘法不是对应元素相乘，而是有特定的规则。要使矩阵$A$和矩阵$B$相乘得到矩阵$C$，$A$的列数必须等于$B$的行数。如果$A$的维度为$m \times n$，$B$的维度为$n \times p$，则$C$的维度为$m \times p$。矩阵$C$的元素定义为$A$的行元素与$B$的列元素对应乘积的和。可以通过以下脚本实现矩阵乘法：

% This script demonstrates matrix multiplication
A = [3 8 0; 1 2 5];
B = [1 2 3 1; 4 5 1 2; 0 2 3 0];
[m n] = size(A);
[nb p] = size(B);
if n ~= nb
    disp('Cannot perform this matrix multiplication');
else
    % Outer 2 loops iterate through the elements in C
    % which has dimensions m by p
    % Preallocate C
    C = zeros(m,p);
    for i = 1:m
        for j = 1:p
            % Inner loop performs the sum for each
            % element in C
            mysum = 0;
            for k = 1:n
                mysum = mysum + A(i,k) * B(k,j);
            end
            C(i,j) = mysum;
        end
    end
    C
end

在MATLAB中，使用 * 运算符即可实现矩阵乘法。如果要进行对应元素相乘（数组乘法），则使用 .* 运算符。
- 矩阵转置 ：矩阵转置是交换矩阵的行和列。在MATLAB中，使用单引号 ' 运算符即可实现矩阵转置。
- 矩阵求逆 ：如果矩阵$A$乘以矩阵$B$的结果是单位矩阵，则$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。在MATLAB中，可以使用 inv 函数求矩阵的逆，示例如下：

a = [1 2; 2 2];
ainv = inv(a);
a * ainv

• 矩阵扩充 ：矩阵扩充是在原矩阵的基础上添加列。在MATLAB中，可以使用方括号 [] 来实现矩阵扩充，示例如下：

a = [1 3 7; 2 5 4; 9 8 6];
[a eye(size(a))]

5. 向量运算

向量是矩阵的特殊情况，前面介绍的矩阵运算同样适用于向量，只要维度正确。
- 向量乘法 ：向量相乘要求两个向量元素个数相同，且一个为行向量，另一个为列向量。例如：

c = [5 3 7 1]';
r = [6 2 3 4];
r * c
c * r

• 点积 ：两个向量的点积定义为对应元素乘积的和。可以使用 * 运算符和向量转置来计算点积，也可以使用MATLAB内置的 dot 函数，示例如下：

vec1 = [4 2 5 1];
vec2 = [3 6 1 2];
vec1 * vec2'
dot(vec1,vec2)

• 叉积 ：两个三维向量的叉积可以使用MATLAB内置的 cross 函数来计算，示例如下：

vec1 = [4 2 5];
vec2 = [3 6 1];
cross(vec1,vec2)

6. 线性代数方程组的矩阵解法

线性代数方程的一般形式为$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$，其中$a$为常数系数，$x$为未知数，$b$为常数。一个方程组可以表示为矩阵形式$Ax = b$，其中$A$是系数矩阵，$x$是未知数的列向量，$b$是常数的列向量。

所有线性方程组的解有三种情况：无解、有唯一解或有无穷多解。求解方程$Ax = b$的一种方法是将方程两边同时乘以系数矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，得到$x = A^{-1}b$。

例如，对于方程组
[
\begin{cases}
4x_1 - 2x_2 + x_3 = 7 \
x_1 + x_2 + 5x_3 = 10 \
-2x_1 + 3x_2 - x_3 = 2
\end{cases}
]
可以先将其表示为矩阵形式$Ax = b$，然后求解$x$。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示矩阵运算和线性方程组求解的主要步骤：

graph LR
    A[定义矩阵和向量] --> B[进行矩阵运算]
    B --> C{运算类型}
    C -->|加法、减法| D[对应元素相加减]
    C -->|标量乘法| E[每个元素乘以标量]
    C -->|矩阵乘法| F[按规则计算元素乘积和]
    C -->|转置| G[交换行和列]
    C -->|求逆| H[计算逆矩阵]
    C -->|扩充| I[添加列]
    B --> J[进行向量运算]
    J --> K{运算类型}
    K -->|乘法| L[行向量和列向量相乘]
    K -->|点积| M[对应元素乘积求和]
    K -->|叉积| N[计算三维向量叉积]
    B --> O[表示线性方程组为矩阵形式 Ax = b]
    O --> P[求解 x = A^-1 * b]

通过以上介绍，我们了解了矩阵和向量的基本运算，以及如何使用这些运算来求解线性代数方程组。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的方法和工具来解决。

练习题解答建议

• Practice 11.1 ：编写一个名为 isdiagonal 的函数，判断一个方阵是否为对角矩阵。可以参考判断矩阵相等的思路，遍历矩阵元素，检查非主对角线元素是否为0。
• Practice 11.2 ：对于给定的矩阵，判断哪些相等、哪些是方阵，并计算方阵的迹、判断是否对称、对角、下三角或上三角矩阵。可以使用前面介绍的函数和方法来完成。
• Practice 11.3 ：手动计算两个矩阵的乘积，然后在MATLAB中验证结果。可以使用矩阵乘法的规则手动计算，然后在MATLAB中使用 * 运算符进行验证。

线性代数方程组求解与矩阵运算

7. 线性代数方程组求解的深入探讨

线性代数方程组的求解在许多领域都有广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。前面我们介绍了通过矩阵求逆的方法来求解方程组$Ax = b$，即$x = A^{-1}b$。但这种方法在实际应用中存在一些局限性，例如当矩阵$A$不可逆时，该方法就无法使用。

在MATLAB中，除了使用矩阵求逆的方法，还可以使用 \ 运算符来求解线性方程组。 \ 运算符会根据矩阵$A$的特性选择合适的算法来求解方程组，通常比求逆矩阵的方法更高效和稳定。

例如，对于前面的方程组
[
\begin{cases}
4x_1 - 2x_2 + x_3 = 7 \
x_1 + x_2 + 5x_3 = 10 \
-2x_1 + 3x_2 - x_3 = 2
\end{cases}
]
可以使用以下代码求解：

A = [4 -2 1; 1 1 5; -2 3 -1];
b = [7; 10; 2];
x = A \ b;
disp(x);

这种方法避免了直接求逆矩阵，在处理大规模矩阵时更加高效。

8. 矩阵运算的性能优化

在进行矩阵运算时，性能是一个重要的考虑因素。以下是一些优化矩阵运算性能的建议：
- 预分配内存 ：在进行矩阵运算时，尽量预分配矩阵的内存。例如，在进行矩阵加法时，使用 zeros 函数预分配结果矩阵的内存，避免在循环中动态分配内存，提高运算效率。示例如下：

function outmat = mymatadd(mat1,mat2)
    % Returns the sum of two matrices
    % or [] if they are not the same size
    outmat = [];
    if all(size(mat1) == size(mat2))
        outmat = zeros(size(mat1)); % preallocate
        [r c] = size(mat1);
        for i = 1:r
            for j = 1:c
                outmat(i,j) = mat1(i,j) + mat2(i,j);
            end
        end
    end
end

• 使用内置函数 ：MATLAB提供了许多内置函数来进行矩阵运算，这些函数通常经过了优化，性能比自定义的循环实现更高。例如，使用 diag 函数获取矩阵的主对角线元素，使用 trace 函数计算矩阵的迹等。
• 避免不必要的循环 ：尽量使用MATLAB的向量化操作，避免使用嵌套循环。向量化操作可以充分利用MATLAB的底层优化，提高运算速度。例如，矩阵加法可以直接使用 + 运算符，而不需要使用嵌套循环。

9. 矩阵运算的实际应用案例

矩阵运算在实际应用中有许多场景，以下是一些常见的应用案例：
- 图像处理 ：在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素值。通过矩阵运算，可以对图像进行各种处理，如图像的旋转、缩放、滤波等。例如，使用矩阵乘法可以实现图像的旋转操作。
- 机器学习 ：在机器学习中，矩阵运算贯穿了整个过程。例如，在神经网络中，矩阵乘法用于计算神经元之间的加权和，矩阵转置和求逆等操作也经常用于优化算法的实现。
- 物理模拟 ：在物理模拟中，矩阵可以用来表示物理系统的状态和参数。通过矩阵运算，可以模拟物理系统的运动和变化，如刚体的运动、流体的流动等。

10. 总结与展望

通过本文的介绍，我们深入了解了矩阵和向量的基本运算，以及如何使用这些运算来求解线性代数方程组。同时，我们还探讨了线性代数方程组求解的其他方法和矩阵运算的性能优化建议，以及矩阵运算在实际应用中的案例。

在未来的学习和工作中，我们可以进一步深入研究线性代数的理论和方法，掌握更多的矩阵运算技巧，提高解决实际问题的能力。同时，随着计算机技术的不断发展，矩阵运算的应用场景也将越来越广泛，我们可以将线性代数的知识应用到更多的领域中，创造出更多的价值。

以下是一个表格，总结了本文介绍的主要矩阵运算和对应的MATLAB函数：
| 运算类型 | 数学定义 | MATLAB函数或运算符 |
| ---- | ---- | ---- |
| 矩阵相等判断 | 所有对应元素相等且大小相同 | isequal |
| 主对角线元素获取 | 行和列索引相同的元素 | diag |
| 矩阵的迹计算 | 主对角线元素之和 | trace |
| 对角矩阵创建 | 除主对角线元素外其他元素为0 | diag |
| 单位矩阵创建 | $a_{ij} = 1$（$i = j$）且$a_{ij} = 0$（$i \neq j$） | eye |
| 上三角矩阵转换 | 主对角线以下元素为0 | triu |
| 下三角矩阵转换 | 主对角线以上元素为0 | tril |
| 矩阵加法 | 对应元素相加 | + |
| 矩阵减法 | 对应元素相减 | - |
| 标量乘法 | 每个元素乘以标量 | * |
| 矩阵乘法 | 按规则计算元素乘积和 | * |
| 数组乘法 | 对应元素相乘 | .* |
| 矩阵转置 | 交换行和列 | ' |
| 矩阵求逆 | 矩阵乘以其逆为单位矩阵 | inv |
| 矩阵扩充 | 在原矩阵基础上添加列 | [] |
| 向量点积 | 对应元素乘积求和 | dot |
| 向量叉积 | 三维向量的叉积 | cross |
| 线性方程组求解 | $x = A^{-1}b$ 或 $x = A \ b$ | \ |

下面是一个mermaid流程图，展示矩阵运算和线性方程组求解的整体流程：

graph LR
    A[问题定义] --> B[矩阵和向量表示]
    B --> C[选择运算类型]
    C -->|矩阵运算| D[进行矩阵运算]
    D --> E{运算结果处理}
    E -->|满足需求| F[输出结果]
    E -->|不满足需求| C
    C -->|线性方程组求解| G[表示为 Ax = b 形式]
    G --> H[选择求解方法]
    H -->|矩阵求逆法| I[x = A^-1 * b]
    H -->|直接求解法| J[x = A \ b]
    I --> K[验证结果]
    J --> K
    K --> L{结果是否合理}
    L -->|是| F
    L -->|否| C

通过以上内容，我们全面了解了矩阵运算和线性代数方程组求解的相关知识，希望这些内容对你有所帮助。在实际应用中，你可以根据具体问题选择合适的方法和工具，不断提升自己的编程和解决问题的能力。