21、频域麦克斯韦方程有限元方法及色散介质中的求解方案

频域麦克斯韦方程有限元方法及色散介质中的求解方案

1. 频域有限元方法概述

在求解频域麦克斯韦方程中，主要有三种有限元方法，分别是标准伽辽金方法、间断伽辽金方法和混合间断伽辽金方法。下面将详细介绍这三种方法。

1.1 标准伽辽金方法

考虑如下向量波方程：
$\nabla\times ( \frac{1}{\mu}\nabla\times E) -\omega^2(\epsilon + \frac{i\sigma}{\omega} )E = i\omega J_s$，在 $\Omega$ 内 (9.136)
边界条件为：
$n \times E = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上 (9.137)
其中，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的有界多边形区域，边界为 $\partial\Omega$，$n$ 是单位外法向量。

为了求解该方程，我们对 $\Omega$ 进行离散化，使用四面体网格 $T_h$，该网格是规则且拟均匀的。然后，利用 Nédélec 第一类空间构造有限维子空间 $V_h^0 \subset H_0(\text{curl}; \Omega)$，即：
$V_h^0 = { v_h \in V_h : n \times v_h = 0 \text{ 在 } \partial\Omega \text{ 上} }$ (9.138)

标准伽辽金方法的目标是找到 $E_h \in V_h^0$，使得：
$(\mu^{-1}\nabla\times E_h, \nabla\times \varphi) -\omega^2((\epsilon