Chapter 4 Transforms

（个人笔记，由于刚开始学习再加上英语不太好，所以有的地理解的可能不太对，望指正）

Chapter 4 Transforms

基础变换

仿射变换的特点是保证了平行关系，但是长度跟角度可能发生变化。

各种变换操作的描述：

其中正交投影是正交的。。。

Basic Transforms

Translation

$$\begin{gathered} T(t)=T(t_x,t_y,t_z)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \\ {T}^{-1}(t)=T(-t) \end{gathered}$$

Rotation

旋转会保持点之间的距离以及handness

二维旋转

$$u=\left(\begin{array}{c}rcos(\theta +\varphi )\\ rsin(\theta +\varphi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r(cos\theta cos\varphi -sin\theta cos\varphi )\\ r(sin\theta cos\varphi +sin\varphi cos\theta )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}rcos\theta \\ rsin\theta \end{array}\right)=R(\varphi )v$$

三维旋转

$$\begin{gathered} R_x(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ 0& sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right), \\ {R}_y(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}cos\varphi & 0& sin\varphi & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\varphi & 0& cos\varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right), \\ {R}_z(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0& 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

三维旋转矩阵的迹(trace)都为：

$$tr(R)=1+2cos\varphi$$

所有旋转矩阵的行列式值都为1并且都是正交的。

$$R_i^{-1}(\varphi )=R_i(-\varphi )$$

例子：绕一点旋转

旋转公式：

$$X=T(p)R_z(\varphi )T(-p)$$

Scaling

$$\begin{gathered} S(s)=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \\ {S}^{-1}(s)=S(1/s_x,1/s_y,1/s_z) \end{gathered}$$

反射变换可以通过-1作为参数进行缩放，反射变换可能导致顶点顺序发生变化。要判断某个变换是否是反射，则计算左上3x3矩阵的行列式，如果为负则是反射变换。

Shearing

三维空间下Shearing变换共有六种:$H_{xy}(s),H_{xz}(s),H_{yx}(s),H_{yz}(s),H_{zx}(s),H_{zy}(s)$其中第一个脚注表示是哪个维度值发生变化，第二个值是哪个维度进行shearing操作，也就是乘以哪个维度的值，以$H_{xz}(s)$为例：

变换矩阵为：

改变换产生了一个点$(p_x+s{p}_z,p_y,p_z)$
shearing变换的逆变换：$H_{ij}^{-1}(s)=H_{ij}(-s)$

The Rigid-Body Transform

只包含平移跟旋转的变换矩阵称为刚体变换。

$$
X=T(t)R=\begin{pmatrix}
R & T \
0 & 1 \
\end{pmatrix}

x^{-1}=(T(t)R)^{-1}=R^{-1}T(t)^{-1}=R^TT(-t)

$$

Normal Transform

$$\begin{gathered} M_n=(A^{-1}{)}^T \\ {A}^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast } \end{gathered}$$

法线变化只需要计算左上3x3的部分

Special Matrix Transforms and Operations

x-pitch, y-head, z-roll

Extracting Parameters from the Euler Transform

$$
E(h, p, r) = \begin{pmatrix}
e_{00} & e_{01} & e_{02} \
e_{10} & e_{11} & e_{12} \
e_{20} & e_{21} & e_{22}
\end{pmatrix} = R_z®R_x§R_y(h)
\ \qquad
\ \qquad
\ = \begin{pmatrix}
cosrcosh-sinrsinpsinh & -sinrcosp & cosrsinh+sinrsinpcosh \
sinrcosh+cosrsinpsinh & cosrcosp & sinrsinh-cosrsinpcosh \
-cospsinh & sinp & cospcosh
\end{pmatrix}

\\ \qquad
\\ \qquad

\\ sinp = e_{21} \\
\frac{e_{01}}{e_{11}} = \frac{-sinr}{cosr}=-tanr\\
\frac{e_{20}}{e_{22}} = \frac{-sinh}{cosh}=-tanh\\
可以得出：\\
h=atan(-e_{20}, e_{22})\\
p=arcsin(e_{21})\\
r=atan(-e_{01},e_{11})

$$

万向锁：https://blog.youkuaiyun.com/hanjuefu5827/article/details/80659343

Rotation about an Arbitrary Axis

绕任意轴r旋转：

其中M矩阵：

$$M=\left(\begin{array}{c}{r}^T\\ s^T\\ t^T\end{array}\right)$$

绕任意轴旋转矩阵：

$$X=M^T{R}_x(\alpha )M$$

Quaternions

定义：

$$\begin{gathered} \hat{q}=(\overrightarrow{q_v},q_w)=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w=\overrightarrow{q_v}+q_w \\ \overrightarrow{q_v}=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z=(q_z,q_y,q_z), \\ {i}^2=j^2=k^2=-1, \\ jk=-ky=i,ki=-ik=j,ij=-ji=k \end{gathered}$$

乘法：

$$\begin{gathered} \hat{q}\hat{r}=(i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w)(i{r}_x+j{r}_y+k{r}_z+r_w) \\ =i(q_y{r}_z-q_z{r}_y+r_w{q}_x+q_w{r}_x)+j(q_z{r}_x-q_x{r}_z+r_w{q}_y+q_w{r}_y)+k(q_x{r}_y-q_y{r}_x+r_w{q}_z+q_w{r}_z)+q_w{r}_w-q_x{r}_x-q_y{r}_y-q_z{r}_z \\ ‘=(\overrightarrow{q_v}\ast \overrightarrow{r_v}+r_w\overrightarrow{q_v}+q_w\overrightarrow{r_v},q_w{r}_w-\overrightarrow{q_v}\bullet \overrightarrow{r_v}) \end{gathered}$$

共轭(conjugate)：

$$
\hat{q}^{*=(\overrightarrow{q_v},q_w)}=(-\overrightarrow{q_v},q_w)\
(\hat{q}^*)=\hat{q}\
(\hat{q}+\hat{r})^*=\hat{q}+\hat{r}^\
(\hat{q}\hat{r})^*=\hat{r}\hat{q}^

$$

模(norm):

$$\begin{gathered} n(\hat{q})=\sqrt{{\hat{q}}^{\ast }\hat{q}}=\sqrt{\overrightarrow{q_v}\bullet \overrightarrow{q_v}+q_w^2} \\ =\sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2} \\ n({\hat{q}}^{\ast })=n(\hat{q}) \\ n(\hat{q}\hat{r})=n(\hat{q})n(\hat{r}) \end{gathered}$$

Identity:

$$\hat{i}=(\overrightarrow{0},1)$$

逆：

$${\hat{q}}^{-1}=\frac{1}{n(\hat{q}{)}^2}{\hat{q}}^{\ast }$$

对于单位四元素它的模为1，所以他可以被写成：

$$\begin{gathered} \hat{q}=(sin\varphi u_q,cos\varphi ) \\ ||u_q||=1 \end{gathered}$$

根据欧拉公式，也可以写成：

$$\begin{gathered} \hat{q}=sin\varphi u_q+cos\varphi =e^{\varphi u_q} \\ log(\hat{q})=log(e^{\varphi u_q})={\varphi }_{u}q{\hat{q}}^t=(sin\varphi u_q+cos\varphi {)}^t=e^{\varphi t{u}_q}=sin(\varphi t)u_q+cos(\varphi t) \end{gathered}$$

Quaternion Transforms

假定一个点或者是向量$p=(p_x{p}_y{p}_z{p}_w{)}^T$,一个单位四元数$\hat{q}=(sin\varphi u_q,cos\varphi )$，可以证明$\hat{q}\hat{p}{\hat{q}}^{-1}$可以表示为$\hat{p}$绕轴$u_q$旋转$2\varphi$，由于是单位四元数所以${\hat{q}}^{-1}={\hat{q}}^{\ast }$

对于任何非零实数诚意$\hat{q}$任然表示相同的变换，这意味着$\hat{q}$与$-\hat{q}$表示相同的旋转。

对于多个旋转，可以通过结合律：

$$\hat{r}(\hat{q}\hat{p}{\hat{q}}^{\ast }){\hat{r}}^{\ast }=(\hat{r}\hat{q})\hat{p}({\hat{q}}^{\ast }{\hat{r}}^{\ast })$$

Matrix Conversion

$$M^q=\left(\begin{array}{cccc}1-s(q_y^2+q_z^2)& s(q_x{q}_y-q_w{q}_z)& s(q_x{q}_z+q_w{q}_y)& 0\\ s(q_x{q}_y+q_w{q}_z)& 1-s(q_x^2+q_z^2)& s(q_y{q}_z-q_w{q}_x)& 0\\ s(q_x{q}_z-q_w{q}_y)& s(q_y{q}_z+q_w{q}_x)& 1-s(q_x^2+q_y^2)& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

其中$s=2/(n(\hat{q}){)}^2$
对于单位四元数，可以简化为

$$M^q=\left(\begin{array}{cccc}1-2(q_y^2+q_z^2)& 2(q_x{q}_y-q_w{q}_z)& 2(q_x{q}_z+q_w{q}_y)& 0\\ 2(q_x{q}_y+q_w{q}_z)& 1-2(q_x^2+q_z^2)& 2(q_y{q}_z-q_w{q}_x)& 0\\ 2(q_x{q}_z-q_w{q}_y)& 2(q_y{q}_z+q_w{q}_x)& 1-2(q_x^2+q_y^2)& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

球面线性插值

根据$\hat{q}$、$\hat{r}$以及参数$t\in [0,1]$求一个差值四元数

$$\hat{s}(\hat{q},\hat{r},t)=(\hat{r}{\hat{q}}^{-1}{)}^t\hat{q}$$

实际计算中使用

$$\begin{gathered} \hat{s}(\hat{q},\hat{r},t)=slerp(\hat{q},\hat{r},t) \\ =\frac{sin(\varphi (1-t))}{sin\varphi }\hat{q}+\frac{sin(\varphi t)}{sin\varphi }\hat{r} \end{gathered}$$

其中$cos\varphi =q_x{r}_x+q_y{r}_y+q_z{r}_z+q_w{r}_w$

将一个向量旋转到另一个向量

将限量$s$旋转到向量$t$：首先归一化$s$与$t$，然后计算旋转轴$u=(s\ast t)/||s\ast t||$，第三设$e=s\bullet t=cos(2\varphi )||s\ast t||=sin(2\varphi )$，其中$2\varphi$是$s$与$t$的夹角。那么这个四元数可以表示为$\hat{q}=(sin\varphi u,cos\varphi )$，化简可得:

$$\begin{gathered} \hat{q}=(\frac{sin\varphi }{sin2\varphi }(s\ast t),cos\varphi ) \\ =(q_v,q_w)=(\frac{1}{\sqrt{2(1+e)}}(s\ast t),\frac{\sqrt{2(1+e)}}{2}) \end{gathered}$$

顶点混合(Vertex Blending)

皮肤表面顶点收到多个骨骼影响，经过动画变换最终位置的基本公式是：

$$u(t)=\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_i{B}_i(t)M_i^{-1}p,where\sum _{i=0}^{n-1}=1,{\omega }_i\ge 0$$

其中${\omega }_i$表示第$i$块骨骼对于顶点$p$的影响权重。$M_i$表示从骨骼的本地坐标转换到世界坐标的变换矩阵。$B_i(t)$表示第$i$个骨骼随着物体动画的进行所需要的世界变换矩阵，通常来讲是一系列矩阵的结合，比如说是之前各级骨骼的变换以及本地动画矩阵（什么鬼。。。）

每一个骨骼将一个顶点根据每一帧中的索引变换到一个位置，最终的位置是根据一系列计算出的顶点差值得到的。在一些说明中$M_i$会作为$B_i(t)$的一部分，在实际中也是。发现的计算也可以使用上述公式，需要将$B_i(t)M_i$替换成逆的转置。

在GPU计算中，mesh顶点会作为静态的缓存一次性发送给GPU，这部分数据可以被GPU反复使用，每次要变化的只有骨骼的矩阵。骨骼变换也可以储存到纹理当中，每一次变换如果使用四元数则只需要两个纹理元素来表示旋转的话。

顶点混合的缺点是会出现一些折叠(folding)、扭曲(twisting)和自相交(self intersection)。解决的方法之一是使用对偶四元数(dual quaternions)，它可以很好地避免肢体的糖纸扭曲(candy wrapper twist)

变形(Morphing)

变形效果主要有两个主要问题：顶点对应(vertex correspondence)问题和插值问题。对于两个顶点数量不同，拓扑结构不同，网格连接关系不同的模型进行变形首先要做的就是顶点对应。

如果对于一个顶点能够一一对应的模型，那么就可以进行逐顶点的插值了。对于一个时间点$t\in [t_0,t_1]$，首先计算$s=(t-t_0)/(t_1-t_0)$，然后就可以先行插值了：

$$m=(1-s)p_0+s{p}_1$$

Geometry Cache Playback

Projections

正交投影(Orthographic Projection)

$$\begin{gathered} P_o=S(s)T(t)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{f-n}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{l+r}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{f+n}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{f-n}& -\frac{f+n}{f-n}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

示意图如下：

透视投影(Perspective Projection)

示意图如下：

p在投影平面上的投影q的坐标为$q=(q_x,q_y,-d)$，$q_x$和$q_y$的计算公式如下：

$$\frac{q_x}{p_x}=\frac{-d}{p_z}\Rightarrow q_x=-d\frac{p_x}{p_z}$$

透视矩阵：
$$P_p=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1/d& 0\end{array}\right)$$

变换效果如下：

点p的透视变换

$$q=P_{p}p=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1/d& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ -p_z/d\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-d{p}_x/p_z\\ -d{p}_y/p_z\\ -d\\ 1\end{array}\right)$$

Field of view

$$\varphi =2arctan(w/(2d))$$

其中$\varphi$表示field of view，$w$表示垂直于视线的物体的宽度，$d$表示距离物体的距离

透视变换

$$P_p=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& -\frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& -\frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

对于$f$趋近于无穷，也可以写成

$$P_p=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& -\frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& -\frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& 1& -2n\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

在OpenGL当中会首先乘以S(1, 1, -1, 1)，那么$0<n^{\prime }<f^{\prime }$得到：

$$P_p=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2n^{\prime }}{r-l}& 0& -\frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n^{\prime }}{t-b}& -\frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& -\frac{f^{\prime }+n^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}& -\frac{2f^{\prime }{n}^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$$

根据fov可以化简为：

$$\begin{gathered} P_p=\left(\begin{array}{cccc}c/a& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{f^{\prime }+n^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}& -\frac{2f^{\prime }{n}^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right) \\ 其中a=w/h，c=1.0/tan(\varphi /2) \end{gathered}$$

z-buffer的精确度

点p经过透视变换之后可得：

$$v=Pp=\left(\begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \\ d{p}_z+e\\ \pm p_z\end{array}\right)$$

其中$d=-\frac{f^{\prime }+n^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}$，$e=-\frac{2f^{\prime }{n}^{\prime }}{f^{\prime }-n^{\prime }}$，可以得到：

$$z_{NDC}=\frac{d{p}_z+e}{-p_z}=d-\frac{e}{p_z}$$

变换曲线：

为了提高深度的精确度，一个常用的方法是翻转z(reversed z)，也就是使用$1.0-z_{NDC}$。几种不同处理的对比如下：

对于屏幕空间的深度计算，可以使用以下公式进行remapping：

$$\begin{gathered} z=w(lo{g}_2(max(10^{-6},1+w))f_c-1),[OpenGL] \\ z=wlo{g}_2(max(10^{-6},1+w))f_c/2,[DX] \end{gathered}$$

其中$w$是顶点经过透视变换之后的$w$值，$z$是顶点着色器中得到的$z$值，$f_c=2/lo{g}_2(f+1)$