《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms（一）

引言

线性变换：保持向量加法和缩放操作：
$$\begin{gathered} \mathbf{f}(\mathbf{x})+\mathbf{f}(\mathbf{y})=\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{y}), \\ k\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}(k\mathbf{x}) \end{gathered}$$

旋转和缩放变换都是对三维向量的线性变换，可以表示为$3\times 3$矩阵。

平移变换是对一个向量执行加上另一个向量的操作；$3\times 3$矩阵无法满足移动变换的表示。

仿射变换（affine transform）通过$4\times 4$矩阵将平移变换与旋转、缩放变换结合起来。使用齐次（homogeneous）标记来表示思维向量：

• 方向向量：$\mathbf{v}=(v_x{v}_y{v}_{z}0{)}^T$；
• 点：$\mathbf{v}=(v_x{v}_y{v}_{z}1{)}^T$；

平移、旋转、缩放、反射、切变矩阵都是放射矩阵。仿射矩阵点特点就是保持线的平行性，但不保持长度和角度。仿射变换也可以表示为任意单独的仿射变换的串联。

一、基础变换

下表是大部分基础变换的汇总：

$$\begin{array}{ccc}\text{标记}& \text{名称}& \text{特点}\\ \mathbf{T}(\mathbf{t})& 平移矩阵& 移动一个点，仿射\\ {\mathbf{R}}_x(\rho )& 旋转矩阵& 围绕x轴旋转\rho 弧度。正交、仿射\\ \mathbf{S}(\mathbf{s})& 缩放矩阵& 根据\mathbf{s}沿着个坐标轴缩放。仿射\\ {\mathbf{H}}_{ij}(s)& 切变矩阵& 将i分量进行为s倍数的依据j分量的切变操作。仿射\\ \mathbf{E}(h,p,r)& 欧拉变换& 以欧拉角形式表示的指向矩阵。正交、仿射\\ {\mathbf{P}}_o(s)& 正交投影& 向平面或空间内进行平行投影。仿射\\ {\mathbf{P}}_p(s)& 透视投影& 向平面或空间内进行符合透视规则的投影\\ \mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\hat{\mathbf{q}},\hat{\mathbf{r}},t)& 球面线性插值& 根据四元数\hat{\mathbf{q}}和\hat{\mathbf{r}}以及参数t来创建插值的四元数\end{array}$$

1.1 平移

将一个实体沿着向量$\mathbf{v}=(t_x,t_y,t_z)$平移的变换矩阵可以表示为：
$$\mathbf{T}(\mathbf{t})=\mathbf{T}(t_x,t_y,t_z)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
需要注意的是，平移变换对向量$\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z,0)$不生效；也就是说，方向向量是不能被平移的。

平移矩阵的逆矩阵为：${\mathbf{T}}^{-1}(\mathbf{t})=\mathbf{T}(-\mathbf{t})$。

1.2 旋转

旋转变换指的是将一个向量（位置或方向）以给定坐标轴为中心旋转特定角度。和平移变换一样，旋转变换也是刚体变换并且保持手性。

二维情况下的推导：假设一个向量$\mathbf{v}=(v_x,v_y)=(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$，对其逆时针旋转$\varphi$弧度，得到$\mathbf{u}=(r\cos (\theta +\varphi ),r\sin (\theta +\varphi ))$：
$$\begin{gathered} \mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}r\cos (\theta +\varphi )\\ r\sin (\theta +\varphi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r(\cos \theta \cos \varphi -\sin \theta \sin \varphi )\\ r(\sin \theta \cos \varphi +\cos \theta \sin \varphi )\end{array}\right) \\ =\underset{\mathbf{R}(\varphi )}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)}}\underset{\mathbf{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \end{array}\right)}}=\mathbf{R}(\varphi )\mathbf{v} \end{gathered}$$

在三维情况下，一般会对围绕$x,y,z$轴的旋转矩阵记为${\mathbf{R}}_x(\varphi ),{\mathbf{R}}_y(\varphi ),{\mathbf{R}}_z(\varphi )$：
$$\begin{gathered} {\mathbf{R}}_x(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos (\varphi )& -\sin (\varphi )& 0\\ 0& \sin (\varphi )& \cos (\varphi )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right), \\ {\mathbf{R}}_y(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}\cos (\varphi )& 0& \sin (\varphi )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin (\varphi )& 0& \cos (\varphi )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right), \\ {\mathbf{R}}_z(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}\cos (\varphi )& -\sin (\varphi )& 0& 0\\ \sin (\varphi )& \cos (\varphi )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

旋转矩阵的迹为：$\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{R})=1+2\cos (\varphi )$；行列式为1，且是正交的。

旋转矩阵的逆矩阵：${\mathbf{R}}_i^{-1}(\varphi )={\mathbf{R}}_i(-\varphi )$。

1.3 缩放

缩放矩阵：$\mathbf{S}(\mathbf{s})=\mathbf{S}(s_x,s_y,s_z)$，表示实体在$x,y,z$轴方向上的缩放因子为$s_x,s_y,s_z$。

$$\mathbf{S}(\mathbf{s})=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

如果$s_x=s_y=s_z$，那么这个缩放矩阵是各向同性的（isotropic），否则是各向异性的（anisotropic）。逆矩阵为${\mathbf{S}}^{-1}=\mathbf{S}(1/s_x,1/s_y,1/s_z)$。

特殊的缩放矩阵：其中一个或三个缩放因子是负数时，称为反射矩阵或镜像矩阵。但如果是两个缩放因子是负数，那么相当于旋转了$\pi$弧度。反射矩阵会导致顶点顺序发生改变。

判断一些列变换矩阵的组合是否为反射矩阵的方法：计算变换矩阵左上角$3\times 3$元素的行列式，如果行列式为负数，那么就为反射矩阵。

1.4 切变

六种基础的切变矩阵：${\mathbf{H}}_{xy}(s),{\mathbf{H}}_{xz}(s),{\mathbf{H}}_{yx}(s),{\mathbf{H}}_{yz}(s),{\mathbf{H}}_{zx}(s),{\mathbf{H}}_{zy}(s)$，第一个下标表示哪个坐标会因切变矩阵而改变，第二个下标表示哪个坐标执行切变。在切变矩阵中，这两个下标也对应着参数$s$的行和列，如：
$${\mathbf{H}}_{xz}(s)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& s& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

逆矩阵为：${\mathbf{H}}_{ij}^{-1}={\mathbf{H}}_{ij}(-s)$。

另一种切变：${\mathbf{H}}_{xy}^{\prime }(s,t)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& s& 0\\ 0& 1& t& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，表示下标表示的两个坐标会被第三个坐标改变。可以看作是两个基础切变的组合：${\mathbf{H}}_{ij}^{\prime }(s,t)={\mathbf{H}}_{ik}(s){\mathbf{H}}_{jk}(t)$。

切变矩阵的行列式为1，所以是体积不变的变换。

1.5 变换的串联

变换矩阵串联是需要考虑顺序的。串联的目的是为了提升性能。

变换矩阵串联满足结合律：$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}=(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}$。

1.6 刚体变换

刚体变换表示保持物体长度、角度、手性不变的变换，即仅有平移和旋转变换进行串联。可以表示为：
$$\mathbf{X}=\mathbf{T}(\mathbf{t})\mathbf{R}=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{00}& r_{01}& r_{02}& t_x\\ r_{10}& r_{11}& r_{12}& t_y\\ r_{20}& r_{21}& r_{22}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
其逆变换为${\mathbf{X}}^{-1}=(\mathbf{T}(\mathbf{t})\mathbf{R}{)}^{-1}={\mathbf{R}}^T\mathbf{T}(-\mathbf{t})$，即左上角$3\times 3$的旋转矩阵转置，平移矩阵的元素值改变符号，并依照逆序相乘。
另一种计算方式：假设$\mathbf{R}$为$3\times 3$的旋转矩阵，$\mathbf{X}$表示刚体变换矩阵：
$$\begin{gathered} \bar{\mathbf{R}}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{r}}_{,0}& {\mathbf{r}}_{,1}& {\mathbf{r}}_{,2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_{0,}^T\\ \\ {\mathbf{r}}_{1,}^T\\ \\ {\mathbf{r}}_{2,}^T\end{array}\right), \\ \mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}\bar{\mathbf{R}}& \mathbf{t}\\ 0^T& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$
那么逆变换可以表示为：
$${\mathbf{X}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{r}}_{0,}& {\mathbf{r}}_{1,}& {\mathbf{r}}_{2,}& -{\bar{\mathbf{R}}}^T\mathbf{t}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

1.7 法线变换

基础变换可以应用于线和面的切线向量，但是有些情况下不能直接应用于法线向量。

正确的应用方式应为使用变换矩阵的伴随矩阵的转置。在变化之后可能需要归一化。

简化：

1. 使用逆矩阵代替伴随矩阵；因为伴随矩阵是逆矩阵除以行列式计算得来；
2. 法线是一个向量，所以平移不会对其产生影响；大部分变换是仿射的，即无投影；所以可以仅计算左上$3\times 3$的部分；
3. 如果变换完全是由平移、旋转和各向同性的缩放变换串联的；因为平移不影响法线，各向同性的缩放只影响法线长度，旋转矩阵的逆矩阵为其转置；这种情况下，原变换矩阵可以直接应用于法线；
4. 如果只有平移和旋转，那么不需要重新归一化；如果有各向同性的缩放，那么归一化只需要除以缩放比例即可，或变换矩阵的左上$3\times 3$部分除以缩放比例即可。

1.8 逆变换的计算

三种计算方式：

1. 如果矩阵是单一变换或是一些列已知参数的简单变换，那么可以通过各个矩阵的逆矩阵逆序得到。简单且保证精度；
2. 如果已知变换矩阵是正交的，那么转置即为逆矩阵：${\mathbf{M}}^{-1}={\mathbf{M}}^T$；
3. 如果以上都未知，那么可以使用伴随矩阵方法、克莱尔法则（Cramer’s rule）、LU分解、高斯消元法等方法来计算逆矩阵；其中高斯消元法和伴随矩阵方法更好一些，可以使用更少的if判断；

二、特殊的矩阵变换和操作

2.1 欧拉变换

欧拉变换是一种直观的描述实体方向的变换。默认以负$z$轴作为视角方向，$y$轴为上方向。

记为：$\mathbf{E}(h,p,r)={\mathbf{R}}_z(r){\mathbf{R}}_x(p){\mathbf{R}}_y(h)$。可以有24种不同顺序，这里是常用形式。

逆变换：${\mathbf{E}}^{-1}={\mathbf{E}}^T=({\mathbf{R}}_z{\mathbf{R}}_x{\mathbf{R}}_y{)}^T={\mathbf{R}}_y^T{\mathbf{R}}_x^T{\mathbf{R}}_z^T$。

欧拉角$h,p,r$可以直观的表示为“摇头/偏航（飞行术语）”、“俯仰”、“翻滚”。

欧拉角的缺点：

1. 视场的上方向并不能特指世界坐标的上方向；
2. 两组欧拉角很难合并；如做两组欧拉角的过度动画；
3. 多组欧拉角可以表示同一个方向;
4. 可能会产生gimbal lock；

2.2 从欧拉变换中提取参数

该过程从正交矩阵中计算欧拉参数，即$h,p,r$。因为都是旋转矩阵，所以可以用变换矩阵的左上角$3\times 3$来表示。

$$\mathbf{E}(h,p,r)=\left(\begin{array}{ccc}{e}_{00}& e_{01}& e_{02}\\ e_{10}& e_{11}& e_{12}\\ e_{20}& e_{21}& e_{22}\end{array}\right)={\mathbf{R}}_z(r){\mathbf{R}}_x(p){\mathbf{R}}_y(h)$$

可以得到
$$\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}\cos r\cosh -\sin r\sin p\sin h& -\sin r\cos p& \cos r\sin h+\sin r\sin p\cos h\\ \sin r\cos h+\cos r\sin p\sin h& \cos r\cos p& \sin r\sin h-\cos r\sin p\cos h\\ -\cos p\sin h& \sin p& \cos p\cos h\end{array}\right)$$

从式中可以得到$\frac{e_{01}}{e_{11}}=\frac{-\sin r}{\cos r}=-\tan r\text{and}\frac{e_{20}}{e_{22}}=\frac{-\sin h}{\cos h}=-\tan h$。可得
$$\begin{array}{l}h=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2(-e_{20},e_{22}),\\ p=\arcsin (e_{21}),\\ r=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2(-e_{01},e_{11})\end{array}$$

这里有一个特殊情况，当$\cos p=0$时，会出现gimbal lock，即$r$和$h$会围绕同一个轴旋转（可能是不同方向，取决于$p$为$-\pi /2$或$\pi /2$）。那么会出现数值不稳定性。

产生gimbal lock的原因是丢失了一个自由度。从数字层面来看，当$\cos p=0$，即$p=\pm \pi /2+2\pi k,k\text{is an integer}$，会丢失一个自由度，矩阵$\mathbf{E}$仅依赖与一个角度，$r+h$或$r-h$。

2.3 矩阵分解

矩阵分解的任务是从一个串联的矩阵中找回一些列变换。

矩阵分解的用途：

1. 提取物体的缩放比例；
2. 找到特定系统所需要的变换；
3. 确定模型是否仅有刚体变换；
4. 动画的关键帧插值；
5. 从旋转矩阵中移除切变；

简单的分解：$4\times 4$矩阵最右一列为平移矩阵；可以通过行列式正负性确定是否有反射；

2.4 围绕任意轴旋转

基本方法

假设围绕$\mathbf{r}$轴旋转$\alpha$弧度。首先变换矩阵$\mathbf{M}$变换到可以围绕$x$轴旋转的空间，然后执行旋转操作，最后再通过${\mathbf{M}}^{-1}$变换回原空间。

为了计算$\mathbf{M}$，首先需要找到另外两个与$\mathbf{r}$正交的轴，且这两轴互相正交。假设两轴为$\mathbf{s},\mathbf{t}$，则$\mathbf{t}=\mathbf{r}\times \mathbf{s}$。$\mathbf{s}$的计算方式：将$\mathbf{r}$的绝对值最小分量置为$0$；交换剩余两个分量，然后将它们之中的第一个分量改变正负性；
$$\begin{array}{l}\bar{\mathbf{s}}=\{\begin{array}{l}(0,-r_z,r_y),\text{if}|r_x|\le |r_y|\text{and}|r_x|\le |r_z|,\\ (-r_z,0,r_x),\text{if}|r_y|\le |r_x|\text{and}|r_y|\le |r_z|,\\ (-r_y,r_x,0),\text{if}|r_z|\le |r_x|\text{and}|r_z|\le |r_y|,\end{array}\\ \mathbf{s}=\bar{\mathbf{s}}/\Vert \bar{\mathbf{s}}\Vert ,\\ \mathbf{t}=\mathbf{r}\times \mathbf{s}\end{array}$$

这可以保证$\bar{\mathbf{s}}$正交于$\mathbf{r}$，且$(\mathbf{r},\mathbf{s},\mathbf{t})$是一组正交基。则旋转矩阵$\mathbf{M}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{r}}^T\\ {\mathbf{s}}^T\\ {\mathbf{t}}^T\end{array}\right)$，会将$\mathbf{r}$转至$x$轴，$\mathbf{s}$转至$y$轴，$\mathbf{t}$转至$z$轴，然后使用${\mathbf{R}}_x(\alpha )$围绕$x$轴旋转，最后使用$\mathbf{M}$的逆矩阵变回原空间，这里${\mathbf{M}}^{-1}={\mathbf{M}}^T$。即最终变换矩阵为：$\mathbf{X}={\mathbf{M}}^T{\mathbf{R}}_x(\alpha )\mathbf{M}$。

另一种方法

假设围绕归一化的轴$\mathbf{r}$旋转$\varphi$弧度，可以得到变换矩阵：
$$\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi +(1-\cos \varphi )r_x^2& (1-\cos \varphi )r_x{r}_y-r_z\sin \varphi & (1-\cos \varphi )r_x{r}_z+r_y\sin \varphi \\ (1-\cos \varphi )r_x{r}_y+r_z\sin \varphi & \cos \varphi +(1-\cos \varphi )r_y^2& (1-\cos \varphi )r_y{r}_z-r_x\sin \varphi \\ (1-\cos \varphi )r_x{r}_z-r_y\sin \varphi & (1-\cos \varphi )r_y{r}_z+r_x\sin \varphi & \cos \varphi +(1-\cos \varphi )r_z^2\end{array}\right)$$

三、四元数

四元数用于表示旋转和指向。任意的三维指向都可以表示为一个围绕特定轴的旋转。四元数可以用于稳定且恒定的指向插值。

四元数有四个部分，其中前三个值与旋转轴密切相关，二旋转的角度则会影响所有四个部分的值。

3.1 数学背景

定义：四元数$\hat{\mathbf{q}}$可以通过以下方式定义，
$$\begin{gathered} \hat{\mathbf{q}}=({\mathbf{q}}_v,q_w)=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w={\mathbf{q}}_v+q_w, \\ {\mathbf{q}}_v=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z=(q_x,q_y,q_z), \\ {i}^2=j^2=k^2=-1,jk=-kj=i,ki=-ik=j,ij=-ji=k \end{gathered}$$
其中，$q_w$为四元数$\hat{\mathbf{q}}$的实部，${\mathbf{q}}_v$是虚部，$i,j,k$为虚数单位。

对于虚部${\mathbf{q}}_v$，可以使使用所有单位向量的操作，如加法、减法、点乘、叉乘等。两个四元数$\hat{\mathbf{q}}$和$\hat{\mathbf{r}}$的乘法有如下定义，需要注意的是，四元数的虚部相乘不符合交换律：
$$\begin{gathered} \hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{r}}=(i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w)(i{r}_x+j{r}_y+k{r}_z+r_w) \\ =i(q_y{r}_z-q_z{r}_y+r_w{q}_x+q_w{r}_x) \\ +j(q_z{r}_x-q_x{r}_z+r_w{q}_y+q_w{r}_y) \\ +k(q_x{r}_y-q_y{r}_x+r_w{q}_z+q_w{r}_z) \\ +q_w{r}_w-q_x{r}_x-q_y{r}_y-q_z{r}_z \\ =({\mathbf{q}}_v\times {\mathbf{r}}_v+r_w{\mathbf{q}}_v+q_w{\mathbf{r}}_v,q_w{r}_w-{\mathbf{q}}_v\cdot {\mathbf{r}}_v) \end{gathered}$$

加法：$\hat{\mathbf{q}}+\hat{\mathbf{r}}=({\mathbf{q}}_v,q_w)+({\mathbf{r}}_v,r_w)=({\mathbf{q}}_v+{\mathbf{r}}_v,q_w+r_w)$
共轭：${\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }=({\mathbf{q}}_v,q_w{)}^{\ast }=(-{\mathbf{q}}_v,q_w)$
范数：$\begin{array}{c}n(\hat{\mathbf{q}})=\sqrt{\hat{\mathbf{q}}{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}=\sqrt{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\hat{\mathbf{q}}}=\sqrt{{\mathbf{q}}_v\cdot {\mathbf{q}}_v+q_w^2}\\ =\sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2}\end{array}$，有时记为：$\Vert \hat{\mathbf{q}}\Vert$
单位四元数：$\hat{\mathbf{i}}=(0,1)$
乘法倒数：${\hat{\mathbf{q}}}^{-1}=\frac{1}{n(\hat{\mathbf{q}}{)}^2}{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }$
标量乘法符合交换律：$\hat{\mathbf{q}}s=s\hat{\mathbf{q}}=(s{\mathbf{q}}_v,s{q}_w)$
共轭规则：$\begin{array}{l}({\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }{)}^{\ast }=\hat{\mathbf{q}},\\ (\hat{\mathbf{q}}+\hat{\mathbf{r}}{)}^{\ast }={\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }+{\hat{\mathbf{r}}}^{\ast },\\ (\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{r}}{)}^{\ast }={\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\end{array}$
范数规则：$\begin{array}{l}n({\hat{\mathbf{q}}}^{\ast })=n(\hat{\mathbf{q}}),\\ n(\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{r}})=n(\hat{\mathbf{q}})n(\hat{\mathbf{r}})\end{array}$
乘法线性：$\begin{array}{l}\hat{\mathbf{p}}(s\hat{\mathbf{q}}+t\hat{\mathbf{r}})=s\hat{\mathbf{p}}\hat{\mathbf{q}}+t\hat{\mathbf{p}}\hat{\mathbf{r}},\\ (s\hat{\mathbf{p}}+t\hat{\mathbf{q}})\hat{\mathbf{r}}=s\hat{\mathbf{p}}\hat{\mathbf{r}}+t\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{r}}\end{array}$
乘法结合律：$\hat{\mathbf{p}}(\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{r}})=(\hat{\mathbf{p}}\hat{\mathbf{q}})\hat{\mathbf{r}}$

单位四元数，即$n(\hat{\mathbf{q}})=1$，可以记为：$\hat{\mathbf{q}}=(\sin \varphi {\mathbf{u}}_q,\cos \varphi )=\sin \varphi {\mathbf{u}}_q+\cos \varphi$，其中$\Vert {\mathbf{u}}_q\Vert =1$

单位四元数的欧拉公式：$\hat{\mathbf{q}}=\sin \varphi {\mathbf{u}}_q+\cos \varphi =e^{\varphi {\mathbf{u}}_q}$
对数：$\log (\hat{\mathbf{q}})=\log (e^{\varphi {\mathbf{u}}_q})=\varphi {\mathbf{u}}_q$
幂：${\hat{\mathbf{q}}}^t=(\sin \varphi {\mathbf{u}}_q+\cos \varphi {)}^t=e^{\varphi t{\mathbf{u}}_q}=\sin (\varphi t){\mathbf{u}}_q+\cos (\varphi t)$

3.2 四元数变换

四元数变换针对的是有单位长度的四元数，即单位四元数（unit quaternions）。单位四元数可以表示任何的三维旋转，并且表示形式非常简单紧凑。

假设一个点或向量$\mathbf{p}={\left(\begin{array}{cccc}{p}_x& p_y& p_z& p_w\end{array}\right)}^T$，将其各分量表示为四元数$\hat{\mathbf{p}}$，给定单位四元数$\hat{\mathbf{q}}=(\sin \varphi {\mathbf{u}}_q,\cos \varphi )$，那么$\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{p}}{\hat{\mathbf{q}}}^{-1}$表示$\mathbf{p}$围绕轴${\mathbf{u}}_q$旋转$2\varphi$弧度。

$\hat{\mathbf{q}}$乘以任意非零数，都表示同样的旋转；也就是说将旋转轴${\mathbf{u}}_q$方向指向其负方向，并且将$q_w$改变符号，那么可以创造出与原四元数表示相同旋转的四元数；同样也意味着，一个旋转矩阵可以推导出两个四元数，即$\hat{\mathbf{q}},-\hat{\mathbf{q}}$。

给定两个单位四元数$\hat{\mathbf{q}}$和$\hat{\mathbf{r}}$，串联应用：$\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{p}}{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }){\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }=(\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{q}})\hat{\mathbf{p}}(\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{q}}{)}^{\ast }=\hat{\mathbf{c}}\hat{\mathbf{q}}{\hat{\mathbf{c}}}^{\ast }$，其中$\hat{\mathbf{c}}=\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{q}}$，且为单位四元数。

矩阵转换

从单位四元数转化为变换矩阵

$\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{p}}{\hat{\mathbf{q}}}^{-1}$可以表示如下矩阵：
$${\mathbf{M}}^q=\left(\begin{array}{cccc}1-s(q_y^2+q_z^2)& s(q_x{q}_y-q_w{q}_z)& s(q_x{q}_z+q_w{q}_y)& 0\\ s(q_x{q}_y+q_w{q}_z)& 1-s(q_x^2+q_z^2)& s(q_y{q}_z-q_w{q}_x)& 0\\ s(q_x{q}_z-q_w{q}_y)& s(q_y{q}_z+q_w{q}_x)& 1-s(q_x^2+q_y^2)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
其中，标量$s=2/(n(\hat{\mathbf{q}}){)}^2$，那么对于单位矩阵，则可以简化为：
$${\mathbf{M}}^q=\left(\begin{array}{cccc}1-2(q_y^2+q_z^2)& 2(q_x{q}_y-q_w{q}_z)& 2(q_x{q}_z+q_w{q}_y)& 0\\ 2(q_x{q}_y+q_w{q}_z)& 1-2(q_x^2+q_z^2)& 2(q_y{q}_z-q_w{q}_x)& 0\\ 2(q_x{q}_z-q_w{q}_y)& 2(q_y{q}_z+q_w{q}_x)& 1-2(q_x^2+q_y^2)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
因为四元数已经建立，所以不需要计算任何的三角函数，所以在实际应用中，效率更高。

从变换矩阵转化为单位四元数

可从${\mathbf{M}}^q$中得到如下关键信息：
$$\begin{array}{l}{m}_{21}^q-m_{12}^q=4q_w{q}_x,\\ m_{02}^q-m_{20}^q=4q_w{q}_y,\\ m_{10}^q-m_{01}^q=4q_w{q}_z\end{array}$$

${\mathbf{M}}^q$的迹可以如下计算：
$$\begin{gathered} \mathrm{t}\mathrm{r}({\mathbf{M}}^q)=4-2s(q_x^2+q_y^2+q_z^2)=4\left(1-\frac{q_x^2+q_y^2+q_z^2}{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2}\right) \\ =\frac{4q_w^2}{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2}=\frac{4q_w^2}{(n(\hat{\mathbf{q}}){)}^2} \end{gathered}$$

综上可以得到：
$$\begin{gathered} q_w=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathbf{M}}^q)},q_x=\frac{m_{21}^q-m_{12}^q}{4q_w}, \\ {q}_y=\frac{m_{01}^q-m_{20}^q}{4q_w},q_z=\frac{m_{10}^q-m_{01}^q}{4q_w} \end{gathered}$$

从数值稳定性方面来看，需要避免除以小数字，因此另一种计算方式：首先设$t=q_w^2-q_x^2-q_y^2-q_z^2$，那么可以得到如下：
$$\begin{gathered} m_{00}=t+2q_x^2, \\ {m}_{11}=t+2q_y^2, \\ {m}_{22}=t+2q_z^2, \\ u=m_{00}+m_{11}+m_{22}=t+2q_w^2 \end{gathered}$$
这里通过$m_{00},m_{11},m_{22},u$来确定$q_x,q_y,q_z,q_w$哪个最大，如果是$q_w$最大，则使用上述的结论；否则，使用如下方式计算：
$$\begin{gathered} 4q_x^2=+m_{00}-m_{11}-m_{22}+m_{33}, \\ 4q_y^2=-m_{00}+m_{11}-m_{22}+m_{33}, \\ 4q_z^2=-m_{00}-m_{11}+m_{22}+m_{33}, \\ 4q_w^2=\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathbf{M}}^q) \end{gathered}$$

使用相应的方程计算出最大$q_x,q_y,q_z,q_w$的最大值，然后使用最开始的关键信息计算出$\hat{\mathbf{q}}$的其余分量。

球面线性插值

球面线性插值表示的是，给定两个单位四元数$\hat{\mathbf{q}},\hat{\mathbf{r}}$，以及一个参数$t\in [0,1]$，来计算一个插值后的四元数。

代数形式的表示：$\hat{\mathbf{s}}(\hat{\mathbf{q}},\hat{\mathbf{r}},t)=(\hat{\mathbf{r}}{\hat{\mathbf{q}}}^{-1}{)}^t\hat{\mathbf{q}}$。
对于软件实现来说，使用$slerp$函数来表示更合适：$\hat{\mathbf{s}}(\hat{\mathbf{q}},\hat{\mathbf{r}},t)=\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\hat{\mathbf{q}},\hat{\mathbf{r}},t)=\frac{\sin (\varphi (1-t))}{\sin \varphi }\hat{\mathbf{q}}+\frac{\sin (\varphi t)}{\sin \varphi }\hat{\mathbf{r}}$。可以利用$\cos \varphi =q_x{r}_x+q_y{r}_y+q_z{r}_z+q_w{r}_w$来计算$\varphi$。对于$t\in [0,1]$来说可以插值出唯一的四元数，且这些插值可以组成在单位四元数$\hat{\mathbf{q}}(t=0),\hat{\mathbf{r}}(t=1)$之间的最短球面弧。且计算出的插值，是围绕固定轴以恒定速度旋转，无加速度；这种曲线称为测地曲率（geodesic curve）。

Slerp函数特别适合做两个指向的插值。但是在实际应用中，直接计算球面线性插值是比较消耗的操作，因为包含快乐三角函数的计算。有些优化方法可以用来优化性能。

当两个以上指向，如：${\hat{\mathbf{q}}}_0,{\hat{\mathbf{q}}}_1,...,{\hat{\mathbf{q}}}_{n-1}$，依次插值，可以直接使用slerp函数；但是直接使用，会产生突变。更好的办法是使用样条来插值。在${\hat{\mathbf{q}}}_i,{\hat{\mathbf{q}}}_{i+1}$之间引入${\hat{\mathbf{a}}}_i,{\hat{\mathbf{a}}}_{i+1}$，可以通过他们实现球面三次插值。其中${\hat{\mathbf{a}}}_i={\hat{\mathbf{q}}}_i\exp \left[-\frac{\log ({\hat{\mathbf{q}}}_i^{-1}{\hat{\mathbf{q}}}_{i-1})+\log ({\hat{\mathbf{q}}}_i^{-1}{\hat{\mathbf{q}}}_{i+1})}{4}\right]$。
使用光滑的三次样条来进行球面线性插值可如下计算：
$$\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}({\hat{\mathbf{q}}}_i,{\hat{\mathbf{q}}}_{i+1},{\hat{\mathbf{a}}}_i,{\hat{\mathbf{a}}}_{i+1},t)=\\ \mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}({\hat{\mathbf{q}}}_i,{\hat{\mathbf{q}}}_{i+1},t),\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}({\hat{\mathbf{a}}}_i,{\hat{\mathbf{a}}}_{i+1},t),2t(1-t))\end{array}$$
这个插值会经过${\hat{\mathbf{q}}}_i,i\in [0,...,n-1]$，但不会经过${\hat{\mathbf{a}}}_i$，${\hat{\mathbf{a}}}_i$表示的是切线方向。

从一个向量旋转至另一个

计算从$\mathbf{s}$方向以最短路径变换至另一个方向$\mathbf{t}$。
首先，归一化$\mathbf{s},\mathbf{t}$；然后计算单位旋转轴$\mathbf{u}=(\mathbf{s}\times \mathbf{t})/\Vert \mathbf{s}\times \mathbf{t}\Vert$；
第二步，$e=\mathbf{s}\cdot \mathbf{t}=\cos (2\varphi ),\Vert \mathbf{s}\times \mathbf{t}\Vert =\sin (2\varphi )$，其中$2\varphi$是$\mathbf{s},\mathbf{t}$之间的旋转角；
可得到四元数$\hat{\mathbf{q}}=(\sin \varphi \mathbf{u},\cos \varphi )=(\frac{\sin \varphi }{\sin 2\varphi }(\mathbf{s}\times \mathbf{t}),\cos \varphi )$，通过三角函数的半角公式可以化简为：
$$\hat{\mathbf{q}}=({\mathbf{q}}_v,q_w)=\left(\frac{1}{\sqrt{2(1+e)}}(\mathbf{s}\times \mathbf{t}),\frac{\sqrt{2(1+e)}}{2}\right)$$

直接通过这种方法生成四元数，相较于归一化叉乘，可在$\mathbf{s},\mathbf{t}$指向相近方向时，避免出现数值不稳定性。但是当$\mathbf{s},\mathbf{t}$指向相反方向时，两种方法都无法避免数值不稳定性。当这种情况出现时，任何垂直于$\mathbf{s}$的轴，都可以用来作为旋转轴。

对应的旋转矩阵为：$\mathbf{R}(\mathbf{s},\mathbf{t})=\left(\begin{array}{cccc}e+h{v}_x^2& h{v}_x{v}_y-v_z& h{v}_x{v}_z+v_y& 0\\ h{v}_x{v}_y+v_z& e+h{v}_y^2& h{v}_y{v}_z-v_x& 0\\ h{v}_x{v}_z-v_y& h{v}_y{v}_z+v_x& e+h{v}_z^2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，其中，$\mathbf{v}=\mathbf{s}\times \mathbf{t},e=\cos (2\varphi )=\mathbf{s}\cdot \mathbf{t},h=\frac{1-\cos (2\varphi )}{{\sin }^2(2)\varphi }=\frac{1-e}{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=\frac{1}{1+e}$。可以看到，通过简化，所有的开方和三角函数都消失了，所以该方法非常高效。

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后半部分：《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms（二）