30、代数求解器与块预处理器的技术解析

代数求解器与块预处理器的技术解析

在电磁学等领域的数值计算中，求解代数方程组是一个核心问题。本文将介绍代数多重网格（AMG）方法和高阶边元离散的块预处理器，探讨它们在不同场景下的应用和性能。

代数多重网格（AMG）方法

AMG 方法在成功设置后，可执行 AMG 循环。以 V(νF, νB)-循环为例，其算法如下：

Algorithm 3: V(νF, νB)-cycle
AMGStep(K, u, f, ℓ).
K ℓ←K,
f ℓ←f,
uℓ←u
if ℓ = CoarseLevel then
    uℓ←CoarseGridSolver (LℓLT ℓ, f ℓ)
    Return
else
    dℓ←0, wℓ+1 ←0
    uℓ←SνF ℓ(uℓ, f ℓ)
    dℓ←f ℓ−K ℓuℓ
    dℓ+1 ←(Pℓ)T dℓ
    AMGStep(K ℓ+1, wℓ+1, dℓ+1, ℓ + 1)
    wℓ←Pℓwℓ+1
    uℓ←uℓ+ wℓ
    uℓ←SνB ℓ(uℓ, f ℓ)
end if

该算法根据当前层级是否为粗层级进行不同操作，若为粗层级则使用粗网格求解器，否则进行预处理、残差计算、递归调用和后处理等步骤。

节点单元的 AMG

• 虚拟有限元网格的构建 ：辅助矩阵 (B_h) 的定义很关键，对于 (i \neq j)，((B_h) {ij} = - |k {ij}| {\infty})，其中 (| \