29、代数求解器中的几何与代数多重网格方法解析

代数求解器中的几何与代数多重网格方法解析

1. 几何多重网格方法概述

几何多重网格（Geometric MG）方法与标准有限元（FE）技术不同，它并非基于能精确描述未知场变量的固定有限元网格。该方法从计算域的一个非常粗糙的空间离散化 $T_1$ 开始，通过对 $T_1$ 中的元素进行细分，可得到更精细的离散化 $T_2$，如 图1 所示。这种细化过程可以是对所有元素进行均匀细化，也可以仅对部分选定元素进行自适应细化。通过重复细化操作，能得到一系列有限元离散化 $T_1, \cdots, T_{\ell}$，并为这些离散化组装系统：
$K_q u_q = f_q \quad q = 1, 2, \cdots, \ell$ （公式13.9）
进而可以执行如之前所述的多重网格循环。不过，生成合适的粗网格以及对后续更精细的有限元离散化级别进行自适应细化是一项具有挑战性的任务，这需要几何建模器、网格生成器和误差估计器之间进行全面的数据交换。

1.1 边元素的几何多重网格

将几何多重网格成功应用于麦克斯韦方程的两个关键部分是延拓算子和光滑算子的选择。
- 延拓算子的确定 ：为了确定延拓算子 $I_{q + 1}^q$，考虑在第 $q$ 级的边四面体元素上的一个面 $\Gamma^q$ 的细化。将第 $q$ 级的四面体细分为第 $q + 1$ 级的 8 个四面体时，每个面 $\Gamma^q$ 会被分成 4 个新面 $\Gamma_{1}^{q + 1}, \cdots, \Gamma_{4}^{q + 1}$。延拓算子 $I_{q + 1}^q$ 必须保证穿过 $\Gamma^q$ 的磁通量等于穿过 $\Gamma_{1