4、迭代方法求解逆问题的计算效率与块代数多重网格法

迭代方法求解逆问题的计算效率与块代数多重网格法

在科学与工程计算领域，求解复杂的线性系统和逆问题是一项关键任务。本文将介绍两种重要的方法：块代数多重网格法（Block Algebraic Multigrid Method，BAMG）和用于超声断层成像逆问题的多级迭代梯度法，并对它们的性能和应用进行详细分析。

块代数多重网格法

测试问题描述

• Barry & Mercer 孔隙力学问题 ：考虑Biot方程组的Barry & Mercer测试，有脉动源。网格尺寸分别为22×22×1、46×46×1、94×94×1，对应的时间步长为0.04、0.02和0.01秒。采用特定方法对系统进行离散化，未知量为位移向量和流体压力（块大小b = 4），线性系统从第一个时间步开始存储。
• 非定常Maxwell问题 ：Maxwell方程组描述了电场和磁场的相互作用。考虑参数k = 1/24的有界方形腔问题，方程组如下：
  [
  \begin{cases}
  \partial_t \epsilon E + \sigma E = \nabla\times H - I \
  \partial_t \mu H = -\nabla\times E
  \end{cases}
  ]
  求解电场E和磁场H，满足适当的边界条件。主要未知量为电场和磁场向量（块大小b = 6），网格尺寸为8 × 8 × 8、16 × 16 × 16和32 × 32 × 32，时间步长分别为0.04、0.02和0.01秒。