21、卡尔曼滤波器：从离散到连续系统的参数估计

卡尔曼滤波器：从离散到连续系统的参数估计

在控制和系统工程领域，卡尔曼滤波器是一种强大的工具，用于处理带有噪声的测量数据并估计系统的状态。本文将深入探讨卡尔曼滤波器的原理、算法以及在离散和连续系统中的应用。

1. 离散时间系统的卡尔曼滤波器

在离散时间系统中，卡尔曼滤波器是一个预测 - 校正算法，旨在最小化估计误差的协方差。

1.1 先验估计

先验估计基于系统知识，通过以下方程计算：
- 状态预测：$\hat{\mathbf{x}}^-(k) = \mathbf{A}(k - 1)\hat{\mathbf{x}}^+(k - 1) + \mathbf{B}(k - 1)\mathbf{u}(k - 1)$
- 误差协方差预测：$\mathbf{P}^-(k) = \mathbf{A}(k - 1)\mathbf{P}^+(k - 1)\mathbf{A}^T(k - 1) + \mathbf{Q}(k - 1)$

这里，$\hat{\mathbf{x}}^-(k)$ 是先验状态估计，$\mathbf{P}^-(k)$ 是先验估计误差协方差矩阵，$\mathbf{A}$ 是状态转移矩阵，$\mathbf{B}$ 是输入矩阵，$\mathbf{u}$ 是输入向量，$\mathbf{Q}$ 是过程噪声的协方差矩阵。

1.2 后验估计

后验估计结合了测量信息，通过以下步骤计算：
1. 计算卡尔曼增益：$\mathbf{K}(k) = \mathbf{P}^-(k)\mathbf{C}^T(k)(\mathbf{R}(k) + \mathbf{C}(k)\mathbf{P}