21、卡尔曼滤波器：离散与连续系统的参数估计与应用

卡尔曼滤波器：离散与连续系统的参数估计与应用

1. 卡尔曼滤波器方程推导基础

在控制与系统工程领域，有一个重要的结论：根据方程(4 - 165)，一个和的期望值等于各个加数期望值的和。利用这一特性以及方程(4 - 259)，可以将状态和估计值的差值用估计误差来替代，从而得到：
[
\mathbf{P}^-(k) = E\left{\mathbf{A}(k - 1)\boldsymbol{\epsilon}^+(k - 1)\boldsymbol{\epsilon}^{+T}(k - 1)\mathbf{A}^T(k - 1)\right} + E\left{\mathbf{A}(k - 1)\boldsymbol{\epsilon}^+(k - 1)\mathbf{w}^T(k - 1)\right} + E\left{\mathbf{w}(k - 1)\boldsymbol{\epsilon}^{+T}(k - 1)\mathbf{A}^T(k - 1)\right} + E\left{\mathbf{w}(k - 1)\mathbf{w}^T(k - 1)\right}
]
其中，第二项和第三项中包含两个随机变量(\boldsymbol{\epsilon}^+(k - 1))和(\mathbf{w}(k - 1))（或它们的转置）的乘积。由于(\boldsymbol{\epsilon}^+(k - 1))是基于(\hat{\mathbf{x}}^+(k - 1))的随机变量，而(\hat{\mathbf{x}}^+(k - 1))又基于(\mathbf{y}(k - 1))，所以与测量噪声(\mathbf{v}(k - 1))相关。但根据定义，(\mathbf{v}(k -