20、参数与变量估计及卡尔曼滤波详解

参数与变量估计及卡尔曼滤波详解

1. 估计精度与费舍尔信息矩阵

估计的精度往往受限于测量的精度，这一关系可以用公式 (Var{\hat{x} {ML}-x}=\sigma {\epsilon}^{2}) 来表示。在最优传感器布置问题中，我们会用到最大似然（ML）估计器和克拉美 - 罗下界（CRB）。目标是寻找一种传感器设置，使得估计精度达到最优，也就是最小化 CRB。

CRB 与费舍尔信息矩阵（FIM）互为倒数，FIM 的定义如下：
[FIM(x)=CRB^{-1}(x)=E\left{\left(\frac{\partial\ln\Lambda(x)}{\partial x}\right)^{2}\right}=-E\left{\frac{\partial^{2}\ln f_{Y|X}(y|x)}{\partial x^{2}}\right}]

FIM 衡量了可观测随机变量 (y) 携带的关于未知参数或变量 (x) 或参数向量 (\mathbf{x}) 的信息量。为了获取最大信息量，我们可以解决一些 “最大化 FIM”（即 “最小化 CRB”）的数学问题，这些问题可分为三类：
- D - 最优设计 ：最大化 FIM 的行列式。
- A - 最优设计 ：最小化 FIM 的迹。
- E - 最优设计 ：最大化 FIM 的最小特征值。

2. 状态估计与卡尔曼滤波概述

在处理线性动态系统的状态估计问题时，我们可以将未知量视为系统状态空间模型中的状态。系统模型可能存在一定