16、控制与系统工程中的数学工具：可观测性与参数估计

控制与系统工程中的数学工具：可观测性与参数估计

在控制与系统工程领域，可观测性和参数估计是至关重要的概念。本文将深入探讨系统可观测性的评估方法，以及如何在存在噪声的情况下进行参数和变量的估计。

系统可观测性的概念

可观测性描述了从系统的输出信号推断系统状态的能力。在状态空间中，可观测性有多种类型，包括局部可观测性、全局可观测性、局部弱可观测性和弱可观测性。

• 局部可观测性 ：意味着系统状态轨迹可能仅位于状态空间的一个子集内。它蕴含了全局可观测性和局部弱可观测性，而后两者是较弱的性质。
• 全局可观测性 ：允许状态轨迹覆盖整个状态空间集。
• 局部弱可观测性 ：允许任何状态在其开放邻域之外有不可区分的伙伴。
• 弱可观测性 ：是最弱的性质，允许状态轨迹在整个状态空间集内，并且在开放邻域之外有不可区分的伙伴。

对于线性系统，这四个概念没有区别。如果一个自治线性系统根据特定定义是可观测的，那么它满足所有这四个定义。

非线性自治系统可观测性的评估

评估非线性系统的可观测性并非易事，但可以通过推导代数测试来检查局部弱可观测性。考虑一般的自治非线性系统：
[
\begin{cases}
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}) \
y(t) = g(\mathbf{x})
\end{cases} <