14、控制与系统工程领域的数学工具及系统可观测性评估

控制与系统工程领域的数学工具及系统可观测性评估

1. 离散时间系统的状态空间表示

离散时间系统也存在状态空间表示。其向量差分方程和输出方程可写为：
[
\begin{cases}
\mathbf{x}(k + 1) = \mathbf{A}_d \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}_d \mathbf{u}(k) \
\mathbf{y}(k) = \mathbf{C} \mathbf{x}(k) + \mathbf{D} \mathbf{u}(k)
\end{cases}
]
其中，下标 (d) 用于区分离散时间表示的系数与连续时间表示的系数。根据之前讨论的步骤，从差分方程可以很容易地为任何系统推导出状态空间表示。离散时间系统也存在控制器和观测器的规范形式。

1.1 状态空间表示的精确时间离散化

要将连续时间状态空间表示转换为离散时间表示，输出矩阵 (\mathbf{C}) 和前馈矩阵 (\mathbf{D}) 在从连续时间转换到离散时间版本时不会改变，因为输出方程是代数方程。

对于连续形式的非代数向量状态空间方程，我们要找到一个在采样点精确的离散表示。首先求解向量状态微分方程，然后对其（代数）解进行离散化，得到所需的向量差分方程。向量状态方程的一般解离散化后可得：
[
\begin{cases}
\mathbf{x}(k) = e^{\mathbf{A} kT} \mathbf{x} 0 + \int {0}^{kT} e^{\mathbf{A} (kT - \tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(