本文介绍了算法导论中5.2节的几个经典问题，包括HIRE-ASSISTANT面试场景的概率计算，掷n个骰子之和的期望值，帽子核对问题的解决，以及随机排列中逆序对数量的期望值分析。通过指示器随机变量的方法，详细解答了每个问题。
算法导论5.2习题
- 5.2-1 在HIRE-ASSISTANT中，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣一次的概率是多少？正好雇佣n次的概率是多少？
- 5.2-2 在HIRE-ASSISTANT，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣两次的概率是多少？
- 5.2-3 利用指示器随机变量来计算掷n个骰子之和的期望值。
- 5.2-4 利用指示器随机变量来解如下的帽子核对问题（hat-heck problem）：n位顾客，他们每个人给餐厅核对帽子的服务生一顶帽子。服务生以随机顺序将帽子归还给顾客。请问拿到自己帽子的客户的期望数是多少？
- 5.2-5 设A[1..n]是由n个不同数构成的数列。假如 i < j i<j i<j且 A [ i ] > A [ j ] A[i]>A[j] A[i]>A[j],则称 ( i , j ) (i,j) (i,j)对为A的一个逆序对(inversion)。（参看思考题2-4中更多关于逆序对的例子。）假设A的元素构成<1,2,...,n>上的一个均匀随机排列。请用指示器随机变量来计算其中逆序对的数目期望。
5.2-1 在HIRE-ASSISTANT中，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣一次的概率是多少？正好雇佣n次的概率是多少？
答：因为应聘者以随机顺序出现，所以任意一个应聘者出现在任意次序的概率都是 1 / n 1/n 1/n.
所以，正好雇佣一次的概率是 ( 1 / n ) n (1/n)^n (1/n)n. 正好雇佣n次的概率是 ( 1 / n ) n (1/n)^n (1/n)n.
5.2-2 在HIRE-ASSISTANT，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣两次的概率是多少？
答: C n 2 ( 1 / n ) n \mathbb{C}_{n}^2(1/n)^n Cn2(1/n)n
5.2-3 利用指示器随机变量来计算掷n个骰子之和的期望值。
答: 令指示器随机变量 X i = I { 抛 掷 第 i 个 骰 子 } = { 1 如果掷到1 2 如果掷到2 3 如果掷到3 4 如果掷到4 5 如果掷到5 6 如果掷到6 X_i=I\{抛掷第i个骰子\}=\begin{cases} 1 &\text{如果掷到1}\\2 &\text{如果掷到2}\\3 &\text{如果掷到3}\\4 &\text{如果掷到4}\\5 &\text{如果掷到5}\\6 &\text{如果掷到6}\end{cases} Xi=I{
抛掷第i个骰子}=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧123456如果掷到1如果掷到2如果掷到3如果掷到4如果掷到5如果掷到6
令 X = X 1 + X 2 + . . . + X n X=X_1+X_2+...+X_n X=X1+X2
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