《算法导论》第三版第5章 概率分析和随机算法 练习&思考题 个人答案

注：本章内容需要一定的《概率论与随机过程》课程基础。

5.1 雇用问题

5.1-1

以下翻译自https://ita.skanev.com/05/01/01.html
解：如果一个偏序关系同时又是一个全关系，则称为全序或线性序。一个偏序关系，要求满足自反性、反对称性和传递性。
假设这里的关系为 “是否一样好或更好于”，
自反性：每个应聘者都比自己好或更好。
反对称性：如果应聘者A与B一样好或更好于应聘者B，同时应聘者B又与A一样好或更好于应聘者A，则可知A和B一样好。
传递性：如果应聘者A与B一样好或更好于应聘者B，应聘者B又与C一样好或更好于应聘者C，则A与C一样好或更好于C。
所以该关系是一个偏序。又因为所有的应聘者出现的情况的关系，我们都可以判断，所以该关系又是一个全关系。因此，该关系是一个全序。

5.1-2

解：

RANDOM(a, b)
n = b - a
c = ceiling(lgn)
offset = 0
for i = 1 to c
    offset = offset + b[i] * (2^i)
if offset > n
    return RANDOM(a, b)
else return a + offset

$O(\ln (b-a))$

5.1-3

思路：生成两次有偏随机数，两数相等的概率为0.5，不相等的概率也为0.5。
解：

RANDOM
if BIASED-RANDOM == BIASED-RANDOM
    return 1
else return 0

运行时间$\Theta (1)$。

5.2 指示器随机变量

5.2-1

解：$\frac{1}{n}$;$\frac{1}{n!}$

5.2-2

提示：过程中的求和可用积分计算。
解：$\frac{1}{n}(\ln (n-1)+O(1))$

5.2-3

解：$3.5n$

5.2-4

解：1

5.2-5

解：$\frac{1}{2}{A}_n^2$

5.3 随机算法

5.3-1

解：

RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
n = A.length
swap A[1] with A[RANDOM(1, n)]
for i = 2 to n
    swap A[i] with A[RANDOM(i, n)]

循环不变式的保持变为：我们假设在第i（i=2,…,n）次迭代之前，每种可能的（i-1）排列出现在子数组A[1…i-1]中的概率是(n-i+1)!/n!。

5.3-2

思路：没有实现教授的意图，当n=3时可验证。

5.3-3

思路：看似更“随机”了，但其实会产生不均匀的随机排列。均匀随机有$n!$种可能，而本题会产生$n^n$种可能，在n比较小时也可以通过实验验证，一个很好的参考。

5.3-4

思路：其实很容易看出这是一个随机偏移量的循环右移，因此易证概率为1/n。

5.3-5

证明：
Pr ⁡ { 1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ … } = Pr ⁡ { 1 } ⋅ Pr ⁡ { 2 ∣ 1 } ⋅ Pr ⁡ { 3 ∣ 1 ∩ 2 } ⋯ = 1 ( 1 − 1 n 3 ) ( 1 − 2 n 3 ) ( 1 − 3 n 3 ) ⋯ ≥ 1 ( 1 − n n 3 ) ( 1 − n n 3 ) ( 1 − n n 3 ) ⋯ ≥ ( 1 − 1 n 2 ) n ≥ 1 − 1 n \begin{aligned} \Pr\{1 \cap 2 \cap 3 \cap \ldots\} &= \Pr\{1\} \cdot \Pr\{2 | 1\} \cdot \Pr\{3 | 1 \cap 2\} \cdots \\ &= 1 \bigg(1 - \frac{1}{n^3}\bigg) \bigg(1 - \frac{2}{n^3}\bigg) \bigg(1 - \frac{3}{n^3}\bigg) \cdots \\ &\ge 1 \bigg(1 - \frac{n}{n^3}\bigg) \bigg(1 - \frac{n}{n^3}\bigg) \bigg(1 - \frac{n}{n^3}\bigg) \cdots \\ &\ge \bigg(1 - \frac{1}{n^2}\bigg)^n \\ &\ge 1 - \frac{1}{n} \\ \end{aligned} Pr{ 1∩2∩3∩…}​=Pr{ 1}⋅Pr{ 2∣1}⋅Pr{ 3∣1∩2}⋯=1(