这篇博客详细探讨了如何利用递归树方法来确定和验证一系列递归式的渐进上界。内容涵盖4.4-1至4.4-9，包括不同形式的递归式，如T(n)=3T(⌊n/2⌋)+n、T(n)=T(n/2)+n^2等，并通过代入法进行验证，求解递归式的渐进行为。
算法导论4.4习题
- 4.4-1 对递归式 T ( n ) = 3 T ( ⌊ n / 2 ⌋ ) + n T(n)=3T(\lfloor{n/2}\rfloor)+n T(n)=3T(⌊n/2⌋)+n，利用递归树确定一个好的渐进上界，用代入法进行验证。
- 4.4-2 对递归式 T ( n ) = T ( n / 2 ) + n 2 T(n)=T(n/2)+n^2 T(n)=T(n/2)+n2，利用递归树确定一个好的渐进上界，用代入法进行验证。
- 4.4-3 对递归式 T ( n ) = 4 T ( n / 2 + 2 ) + n T(n)=4T(n/2+2)+n T(n)=4T(n/2+2)+n，利用递归树确定一个好的渐进上界，用代入法进行验证。
- 4.4-4 对递归式 T ( n ) = T ( n − 1 ) + 1 T(n)=T(n-1)+1 T(n)=T(n−1)+1，利用递归树确定一个好的渐进上界，用代入法进行验证。
- 4.4-5 对递归式 T ( n ) = T ( n − 1 ) + T ( n / 2 ) + n T(n)=T(n-1)+T(n/2)+n T(n)=T(n−1)+T(n/2)+n，利用递归树确定一个好的渐进上界，用代入法进行验证。
- 4.4-6 对递归式 T ( n ) = T ( n / 3 ) + T ( 2 n / 3 ) + c n T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+cn T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+cn，利用递归树论证其解为 Ω ( n lg n ) \Omega(n\lg{n}) Ω(nlgn)，其中c为常数。
- 4.4-7 对递归式 T ( n ) = 4 T ( ⌊ n / 2 ⌋ ) + c n T(n)=4T(\lfloor{n/2}\rfloor)+cn T(n)=4T(⌊n/2⌋)+cn（c为常数），画出递归树，并给出其解的一个渐进紧确界。用代入法进行验证。
- 4.4-8 对递归式 T ( n ) = T ( n − a ) + T ( a ) + c n T(n)=T(n-a) + T(a) + cn T(n)=T(n−a)+T(a)+cn，利用递归树给出一个渐进紧确解，其中 a ≥ 1 {a}\ge{1} a≥1和 c > 0 c>0 c>0是常数。
- 4.4-9 对递归式 T ( n ) = T ( α n ) + T ( ( 1 − α ) n ) + c n T(n) = T(\alpha{n})+T((1-\alpha)n)+cn T(n)=T(αn)+T((1−α)n)+cn，利用递归树给出一个渐进紧确解，其中 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1和是 c > 0 {c}>{0} c>0常数。
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