两条异面直线的公垂线段中点

直线表达

假设直线都用方向和给定点表示： $l_i$ 的方向为 $W^i=(w_1^i,w_2^i,w_3^i)^T$, 经过点 $X_i=(a_i,b_i,c_i)^T$, 且 $\displaystyle\sum\limits_j{\left(w_j^i\right)^2}=1$。

求两个异面直线之间公垂线段的中点。

几何意义

这个点还可以用到两异面直线的距离 $d_i$ 的平方和 $\displaystyle\sum\limits_i{d_i^2}$最小的概念来表示。

先表示出空间任一点 $P=(x,y,z)^T$ 到直线 $l_i$ 的距离 $d_i$。从向量的观点看，连接 $PX_i$ 两点的矢量沿着直线 $l_i$ 方向的投影向量的模就是 $d_i^2$, 投影矩阵是：

$$T_i=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]-\dfrac{W_i\cdot W_i^T}{W_i^T\cdot W_i}$$

从而（注意到投影矩阵满足 $T_i^T=T_i$, 以及 $T_i^2=T_i$）：

$$d_i^2=\left(T_i(P-X_i)\right)^TT_i(P-X_i)=(P-X_i)^TT_i(P-X_i)$$

从而两条直线确定的 $P$ 点使得下式达到极小值：

$$P^*=\arg\min\limits_{P\in{\mathbb R^3}}\sum\limits_{i=1}^2(P-X_i)^TT_i(P-X_i)$$

求向量导数得到极值必要条件时 $P$ 满足：

$$\sum\limits_{i=1}^2\left(T_i P^*-T_i X_i\right)=\bf 0$$
即

$$\left(\sum\limits_{i=1}^2T_i\right)P^*=\sum\limits_{i=1}^2\left(T_iX_i\right)$$
$$P^*=\left(\sum\limits_{i=1}^2T_i\right)^+\sum\limits_{i=1}^2\left(T_iX_i\right)$$
这里的 “+”表示秩3时（异面直线则必满足）的左逆或Moore-Penrose 广义逆；下标中的$2$ 可以容易推广到 $n$ 条直线；这样代数表达形式就简化了。

这个结果在symmedian point triangulation的时候有应用。