[线性代数]Note4--A的LU分解&转置-置换-向量空间

继续是线性代数的学习笔记，这次的笔记包含第四、五、六节三节课的内容。

第四节课是介绍A的LU分解。A的LU分解是指将矩阵A分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。其主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或者计算行列式。

第五节课是介绍转置-置换-向量空间，介绍了转置矩阵，置换矩阵以及向量空间的基本概念。

第六节课是介绍列空间和零空间，介绍了向量空间中的两种空间–列空间和零空间。

乘积的逆

首先是介绍如何求解两个矩阵乘积的逆。

假设矩阵A和B都是可逆矩阵，也就是有$AA^{-1}=BB^{-1}=I$，则两者的乘积$(AB)(B^{-1}A^{-1})=I$,同理也有$B^{-1}A^{-1}AB=I$。

另外如果$AA^{-1}=I$，则对$A,A^{-1}$转置，有$(A^{-1})^T A^T=I$，也就是说矩阵A转置的逆矩阵等于逆矩阵$A^{-1}$的转置。

A的LU分解

要实现对矩阵A的LU分解，首先需要将A通过初等行交换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。

比如，有一个矩阵$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$,那么其变换矩阵为$E_{21}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$,既有如下所示：

$$E_{21}A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = U$$
从而有 A=LU−−>[2817]=[14