数学学习笔记--线性代数

开始复习 AI 算法的基础–数学部分，主要是三方面的内容：

1. 线性代数
2. 概率论
3. 微积分

参考内容如下：

• 《深度学习》
• https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions
• https://github.com/sladesha/Reflection_Summary

本文是第一篇，线性代数部分的内容，主要是比较基础部分的学习笔记。

1. 线性代数

1.1 向量和矩阵

1.1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系

标量（scalar）

一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。 一般会明确标量属于哪种类型，比如定义实数标量时，会说“令 $s\in R$ 表示一条线的斜率”。

向量（vector）

一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如xx。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量$X$的第一个元素是$X_1$，第二个元素是$X_2$，以此类推。我们也会注明存储在向量中的元素的类型（实数、虚数等）。

一个向量如下所示，一个向量可以看作空间中的点，即每个元素可以表示不同坐标轴上的坐标。
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ \cdots \\ x_n\end{array}\right]$$

矩阵（matrix）

矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如$A$。

一个矩阵的表示例子如下所示：
$$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\end{array}\right]$$

转置是矩阵的重要操作之一，其转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线，定义如下:
$$(A^T)i,j=A_{j,i}$$
一个示例操作如下：
$$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\\ A_{3,1}& A_{3,2}\end{array}\right]==>A^T=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}& A_{2,1}& A_{3,1}\\ A_{1,2}& A_{2,2}& A_{3,2}\end{array}\right]$$

从一个 $3\times 2$ 的矩阵变为了 $ 2\times 3$ 的矩阵。

张量（tensor）

在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 $A$ 来表示张量“A”。张量$A$中坐标为$(i,j,k)$的元素记作$A_{(i,j,k)}$。

四者之间关系

（来自深度学习 500 问第一章数学基础）

标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例：
​标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。
​向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。
​张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少。

1.1.2 张量与矩阵的区别

• 从代数角度讲， 矩阵它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么$n$阶张量就是所谓的$n$维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述。
• 从几何角度讲， 矩阵是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。
• 张量可以用3×3矩阵形式来表达。
• 表示标量的数和表示向量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

1.1.3 矩阵和向量相乘结果

若使用爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），矩阵$A$, $B$相乘得到矩阵 $C$ 可以用下式表示：
$$AB=C==>a_{ik}\ast b_{kj}=c_{ij}$$

其中，$a_{ik}$, $b_{kj}$, $c_{ij}$分别表示矩阵$A,B,C$的元素，$k$出现两次，是一个哑变量（Dummy Variables）表示对该参数进行遍历求和。

用一个例子表示就是：
$$
A=
\left[
\begin{matrix}
A_{1,1} & A_{1,2} \
A_{2,1} & A_{2,2} \
\end{matrix}
\right]
B =
\left[
\begin{matrix}
B_{1,1} & B_{1,2} \
B_{2,1} & B_{2,2} \
\end{matrix}
\right] \
A \times B = C =
\left[
\begin{matrix}
A_{1,1}\times B_{1,1}+A_{1,2}\times B_{2,1} & A_{1,1}\times B_{1,2}+A_{1,2}\times B_{2,2} \
A_{2,1}\times B_{1,1}+A_{2,2}\times B_{2,1} & A_{2,1}\times B_{1,2}+A_{2,2}\times B_{2,2} \
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
C_{1,1} & C_{1,2} \
C_{2,1} & C_{2,2} \
\end{matrix}
\right]
$$
所以矩阵相乘有一个前提，矩阵 A 的列数必须和矩阵 B 的行数相等，也就是如果 A 的维度是 $m\times n$，B 的维度必须是 $n\times p$，相乘得到的 C 矩阵的维度就是 $m\times$