线性代数及其应用笔记

线代最近好多地方都要用到，然而之前学的太渣啦，这次复yu习xi一遍记一下~
本文应配合原书食用，只是作为通读全书之后方便查阅的参考，而非用作单独学习线代

第1章 线性代数中的线性方程组

1. 线性方程组等价$\Leftrightarrow$解集相同$\Leftrightarrow$增广矩阵行等价
2. 线性方程组的解：null/one/infinite
3. 线性方程组相容：有解（one/infinite）
4. 行初等变换：
   
   • 倍加：加上另一行的倍数
   • 对换：两行互换
   • 倍乘：一行各元素乘一个标量
5. 行初等变换是可逆的
6. （行）阶梯形矩阵（缩写为REF）
   
   • 每一非零行在每一零行之上
   • 下方的行的先导元素在右方
   • 推论：先导元素（一行的最左非零元素）所在列的下面全是零
7. 简化（行）阶梯形（缩写为RREF）
   
   • 先导元素都是1
   • 先导元素是所在列唯一的非零元素
8. 简化阶梯形是唯一的
9. 主元位置：阶梯形中先导元素的位置；主元列*：含主元位置的列
10. 主元列对应基本变量，非主元列对应自由变量
11. 方程组通解的形式（举例说明）：
    $$\left\{ \begin{array}{ll} x_1 = 5x_3+1 \\ x_2 = -x_3 + 4 \\ x_3 \text{is free} \end{array} \right.$$
12. 线性方程组相容$\Leftrightarrow$增广矩阵最右列不是主元列（没有$0=b$情况出现，其中$b$为非零常数）
13. 线性组合：$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}\cdots + c_n\vec{v_n}$
14. 向量方程$x_1 \vec{a_1} + x_2 \vec{a_2}+\cdots + x_n\vec{a_n}=\vec{b}$与增广矩阵$[\vec{a_1}\vec{a_2}\cdots \vec{a_n} \vec{b}]$解集相同
15. $Span\{\vec v_1, \vec v_2 , \cdots , \vec v_p \}$为这些向量生成的子集，即它们线性组合产生的向量的集合
16. $A\vec x$可以理解为$A$中各列以$\vec x$中对应分量为权重的线性组合
17. $A\vec x = \vec b$有解$\Leftrightarrow$ $\vec b$中各列是$A$中各列的线性组合
18. 下列命题等价：
    
    • $A\vec x = \vec b$对$\mathbb R^m$中的每个$\vec b$都有解
    • $\mathbb R^m$中的每个$\vec b$都是$A$的列的线性组合
    • $A$的各列生成$\mathbb R^m$
    • $A$的每一行都有一个主元位置
    • （注意$A$是系数矩阵而非增广矩阵）
    • 齐次线性方程组：$A\vec x = \vec 0$（等式右边不为$\vec 0$称为非齐次线性方程组）
    • $A\vec x = \vec 0$存在非平凡解$\Leftrightarrow$存在自由变量
    • 非齐次线性方程组的解：若$A\vec x = \vec b$有一个特解$\vec p$，则它的通解为所有形如$\vec w = \vec p + \vec v_h$的向量，其中$\vec v_h$为$A \vec x = \vec 0$的任意一个解
    • 线性无关：$x_1 \vec v +x_2\cdots + x_p \vec v_p= \vec 0$仅有平凡解，那么这些向量线性无关
    • 线性相关集的特征：$S=\{v_1, v_2, \cdots v_p\}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量是其他向量的线性组合
    • $\mathbb R^n$中的$p$个向量的集合，当$p>n$时一定为线性相关集
    • 若向量集中含有$\vec 0$，则它们线性相关
    • 由$\mathbb R^n$到$\mathbb R^m$的变换$T$是一个规则将$\mathbb R^n$每个向量$\vec x$对应到$\mathbb R^m$中的向量T(x