凸函数和上境图

最新推荐文章于 2023-11-30 16:13:03 发布
最新推荐文章于 2023-11-30 16:13:03 发布
阅读量1.2w 收藏 33
点赞数 13
分类专栏： 课程学习总结 数学分析
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lbc3402785/article/details/81169324
版权

上一篇：凸函数总结

函数f:R^n\rightarrow R的图像定义为

\left \{ (x,f(x))|x\in dom f \right \}，

它是R^{n+1}空间的一个子集。函数f:R^n\rightarrow R的上境图定义为

\textbf{epi} f=\left \{ (x,t)|x\in dom f,f(x)\leq t \right \}，它也是R^{n+1}空间的一个子集。

定理 函数f是凸函数当且仅当\textbf{epi} f是凸集。

证明：

(必要性)显然成立，证明省略。

(充分性)假设x_1,x_2\in dom f，显然有(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))\in \textbf{epi} f，又由于\textbf{epi} f是凸集

所以有(tx_1+(1-t)x_2,tf(x_1)+(1-t)f(x_2))\in \textbf{epi} f即得

f(tx_1+(1-t)x_2)\leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)成立，由于x_1,x_2的任意性可知f是凸函数。

亚图

\textbf{hypo} f=\left \{ (x,t)|t\leq f(x)\right \}，

类似上述定理有函数f是凹函数当且仅当其亚图是凸集。

凸函数上境图的刻画
Liang_Ling的博客
11-17 5897
在文章《凸集分离定理》的最后我们知道，一个闭凸集是所有包含它的闭的半空间的交集。设f是RnR^n一个闭的凸函数，那么它的上境图是一个闭凸集，所以一个闭的凸函数的上境图是Rn+1R^{n+1}中所有包含这个上境图的交集。下面我们先来刻画Rn+1R^{n+1}中所有的超平面Rn+1R^{n+1}的超平面可以由线性函数表示： (x,μ)→<x,b>+μβ0b∈Rn,β0∈R(x,\mu)\rightar
凸优化面试题：凸集 凸函数 凸优化
weixin_45955767的博客
12-04 1063
为什么研究凸优化先要从凸集的性质开始： 凸函数图像的上方区域，一定是凸集； 假如一个函数上方是凸集，这个函数就是凸函数 如何用向量表示几何体 什么是凸包 包含凸集的最小集合 凸集基本概念 凸集保凸运算 凸函数图像的上方区域，一定是凸集； 假如一个函数上方是凸集，这个函数就是凸函数 分割超平面 支撑超平面 ...
凸优化非系统学习之笔记1：凸集和凸函数
暴躁的地瓜的博客
07-19 1135
凸集和凸函数 https://www.cnblogs.com/Lin-chun/p/6875184.html 注意：最大值函数为凸函数 Jensen不等式：假若f为凸，并且X由dom(f)所支持的随机变量，则有f(E(X))<=E(f(x))。 https://www.cnblogs.com/hgl0417/p/6670762.html这篇文章中也有对于凸集和凸函数以及拉格朗日乘子法...
凸函数、仿射集、凸集
陈松灿的博客
06-06 3631
仿射集：若通过集合C中任意两个不同点的直线仍在集合C内，则称集合C为仿射集。 凸集：若集合C内任意两点间的线段均在集合C内，则称集合C为凸集。 第一个是凸集，第二个不是凸集，第三个不是凸集，有些边没有包含集合的话也不能叫做凸集。凸函数首先先给出凸函数的图像，如下： 在以前的学习中，上图表示的图像称为凹函数，但是在机器学习中，这就是凸函数。 如果一个函数是凸函数，则该函数的图像上方区域一定是
凸集、凸函数、凸优化和凸二次规划
watermelon12138的博客
04-06 7310
凸集 定义1： 凸函数图像的上方区域，一定是凸集。 定义2： 集合C内任意两点间的线段均包含在集合C形成的区域内，则称集合C为凸集。 凸集： 非凸集： 例如： 保持凸集凸性的运算： (1)两个凸集的和为凸集 若S1、S2均为凸集，则S3 = S1+S2 = {x+y|x∈S1, y∈S2}也为凸集 (2)两个凸集的笛卡尔积为凸集 S1 x S2 = {(x1, x2) | x1∈S1, x2...
数值优化之凸函数
vcvvcvx的博客
01-14 2224
《机器人中的数值优化》——讲述凸函数的性质及条件数、次梯度的概念。
凸优化第三章 -凸函数【清华大学出版社】
02-23
这意味着，如果f和g是凸函数，那么af + bg（a, b为非负常数）和max(f, g)也是凸函数。 3. **共轭函数**： - 函数f的共轭函数f*定义为f*(y) = sup{x*y - f(x)}，其中x*y表示内积。如果f是凸函数，那么它的共轭函数f...
凸优化第三章凸函数 作业题
清风吹斜阳
01-20 5628
水平集 1)Some level sets of a function f are shown below. The curve labeled 1 shows,etc Which of the following properties could f have? 由图像可看出f(x)的下水平集是凸集，故函数是拟凸函数，但不能由下水平集是凸集而判断函数是凸函数还是凹函数。而函数上水平...
凸优化第三章凸函数 3.1基本性质和例子
清风吹斜阳
01-16 1万+
3.1基本性质和例子 定义 扩展值延伸 一阶条件 二阶条件 例子 下水平集 上境图 Jensen不等式及其扩展 不等式 定义 函数f是凸函数，当f的定义域S是凸集，且 严格凸函数： 从几何上来看，如下图，函数f上的任意两点之间的弦都在函数图像之上。 函数f是凸函数，当且仅当在与函数f的定义域S相交的任何直线上，f均是凸的。 当且仅当g(t)是凸的，f(x)是凸的...
凸函数的对偶函数（conjugate）
Liang_Ling的博客
11-18 1万+
启发： 由上次关于凸函数上境图的刻画可以得到一个描述f（凸函数）的一种方式。即，令 F∗={(x∗,μ∗)|h(x)=<x,x∗>−μ∗,h是不大于f的仿射函数}F^*=\{(x^*,\mu^*)|h(x)=<x,x^*>-\mu^*,h是不大于f的仿射函数\} 也就是说，h对应于那些包含epifepi\,f的半空间对应的超平面。那么，h(x)≤f(x)h(x)\leq f(x)当且仅当 μ
优化理论（三）凸函数、拟凸函数和保凸运算
热门推荐
goodluckcwl的专栏
03-23 1万+
这一节主要学习凸函数的定义以及性质。了解保凸运算，以及上镜图与下水平集等。这些基础知识看似零乱，然而却是后面的基础。特别是，在实际应用中如果我们能把一个问题转化为凸优化问题，是非常好的一步。而能够这样做的前提，是知道基本的函数的凸性以及有哪些保凸运算。上镜图有助于我们从集合的角度理解这个函数为什么是凸的（集合的保凸运算）；水平集是以函数的形式表示集合，类似于等高线，在历史上是重要的方法。这里我们通...
凸优化概括总结
vivian_ll的博客
07-24 6169
相关概念 仿射集（Affine set）：通过集合C中任意两个不同点的直线仍然在集合C内，则称集合C为仿射集。比如：直线、平面、超平面 类似于线性变换 n维空间的n-1维仿射集为n-1维超平面。 仿射包（Affine hull）：包含集合C的最小仿射集。比如：直线的仿射包是它自己。球不是仿射集 仿射维数：仿射包的维数。比如：三角形的仿射维数为2；线段的仿射维数为1；球的仿射维数为3。 ...
凸优化第四章凸优化问题 4.2 凸优化
hyl1181的博客
12-17 4783
4.2 凸优化 标准形式的凸优化问题 局部最优解与全局最优解 可微函数的最优性准则 等价的凸问题 拟凸优化 4.2.1 标准形式的凸优化问题 是凸函数，等式约束是仿射函数。则此优化问题是凸优化问题。 也可以写成 重要性质：凸优化问题的可行集也是凸集。 证明：可行集是满足不等式约束和等式约束的点的集合，首先不等式约束函数是凸函数，满足不等式约束的x，相当于是的0-下水平集，凸函数的下水平集是凸集，所以满足每个不等式约束的x均是凸集，同时满足这些不等式约束的x是这些凸集的交集仍为凸集。
凸优化第二章——凸函数
最新发布
qq_53766473的博客
11-30 1617
如果函数fff的定义域和所有下水平集都是凸集，那么fff是拟凸函数如果函数−f-f−f是拟凸函数，那么fff是拟凹函数如果函数fff既是拟凸函数又是拟凹函数（即fff的定义域和所有水平集x∈domf∣fxαx∈domf∣fxα都是凸集），那么fff是拟线性函数函数fff是对数凸的⟺⟺对于所有x∈domfx∈domf有fx0f(x)>0fx0且logflog\ flog。
Convex optimization 2 --- convex function
weixin_43485943的博客
04-21 913
1 Introduction 在第一部分，学习了判断集合是否是凸集，这个部分开始学习函数是否是凸函数。 2 凸函数 2.1 凸函数定义 以一维函数为例，下面这个图曲线上两点之间的线段始终在曲线函数的上方。 2.2 常见一维凸函数 一维凸函数 一维凹函数 2.3 常见高维凸函数 高维凸函数，x∈Rnx\in R^nx∈Rn 高维affine function仍可以用集合的角度理解，从高维集合投影到一维集合上。 高维norms ∣∣x∣∣p||x||_p∣∣x∣∣p​是一个凸锥。 高维凸函数，
数学基础（三）——凸优化
qq_41010142的博客
04-16 9356
                                        凸优化ps: 个人笔记 根据视频和PDF学习思考凸集和凸函数y=x 2 是凸函数，函数图像上位于y=x 2 上方的区域构成凸集。    凸函数图像的上方区域，一定是凸集；    一个函数图像的上方区域为凸集，则该函数是凸函数。    稍后给出上述表述的形式化定义。因此，学习凸优化，考察凸函数，先从凸集及其性质开始。(超...
（最优化理论与方法）第二章最优化所需基础知识-第六节2：凸函数的定义和性质
快乐江湖的博客
10-24 1933
通用定义凸函数：设f:Rn→Rf:Rn→R为适当函数，如果fff的定义域是凸集，且f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)对所有x,y∈fx,y\in fx,y∈f的定义域，0≤θ≤10≤θ≤1都成立，则称fff是凸函数若fff是凸函数，则−f-f−f。
天上天下，谁称独尊？
无尽愿的专栏
10-05 274
大富翁又上不去了，到这里溜达溜达。
MatLab凸优化工具箱CVX-The Basics
Javonn的博客
05-04 6637
cvx_begin and cvx_end所有的CVX模型都必须以cvx_begin开始，以cvx_end结束。所有的变量声明、目标函数和约束都应该介于两者之间。cvx_begin命令可能包含一个以上的修饰符：cvx_begin quiet防止模型在解决过程中产生任何屏幕输出。cvx_begin sdp调用 semidefinite programming mode.cvx_begin gp调用 ...
评论 5
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

加菲猫的传说

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付：¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足，请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值