凸函数上境图的刻画

在文章《凸集分离定理》的最后我们知道，一个闭凸集是所有包含它的闭的半空间的交集。设f是$R^n$一个闭的凸函数，那么它的上境图是一个闭凸集，所以一个闭的凸函数的上境图是$R^{n+1}$中所有包含这个上境图的交集。

下面我们先来刻画$R^{n+1}$中所有的超平面

$R^{n+1}$的超平面可以由线性函数表示：

$$(x,\mu)\rightarrow \, <x,b>+\mu \beta_0\quad b\in R^n,\beta _0\in R$$
由于非零的线性函数在标量乘法下确定的是同一个超平面，所以我们只需要考虑 $\beta_0=0$或者 $\beta_0=-1$的情况。

1.$\beta_0=0$

{ (x,μ)|<x,b>=β}0≠b∈Rn,β∈R