凸优化第三章凸函数作业题

最新推荐文章于 2025-09-22 11:07:21 发布

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本文探讨了凸优化中的拟凸函数特性，通过分析函数的水平集和上境图来判断函数的性质。举例说明了如何根据下水平集和上水平集的凸性判断函数是凸函数、拟凸函数还是拟凹函数，并讨论了函数的共轭函数及其定义。

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水平集

1)Some level sets of a function f are shown below. The curve labeled 1 shows $\left \{ x|f(x)=1 \right \}$ ,etc

Which of the following properties could f have?

由图像可看出f(x)的下水平集是凸集，故函数是拟凸函数，但不能由下水平集是凸集而判断函数是凸函数还是凹函数。而函数上水平集不是凸集，故函数f(x)不是拟凹函数。

2)Now consider the following function:

Which of the following properties could f have?

从图像函数下水平集不是凸集，已知凸函数的下水平集一定是凸集，所以函数f(x)不是凸函数，故其为凹函数。而上水平集是凸集，故函数f(x)是拟凹函数。

函数和上境图

1)The epigraph of a function f is a halfspace if and only if

函数的上境图是半空间，即下图，所以函数f(x)是一个仿射函数。

2)The epigraph of a function f is a convex cone if and only if

函数f(x)的上境图是一个凸锥，所以f(x)一定是凸函数，根据凸锥的定义： $\forall z,y\in C,\forall \theta_1 ,\theta _2\geq 0,\theta_1 z+\theta_2 y\in C$ ，

如上图，令 $\theta_2=0$ ，此时只看z的那条射线，可知 $\forall \theta_1\geqslant 0,\theta_1 z\in C$ ，因为上图是f(x)的上境图，故z的射线其实就是f(x)函数在那段区间的取值，这里假设z的射线对应的x区间为 $[x_1,+\infty ]$ ，所以 $\forall x \in[x_1,+\infty ],(x,f(x))$ 都在射线z上， $\forall \theta_1\geq 0,(\theta_1 x,f(\theta_1 x))$ 在射线z上，由锥的定义 $\forall \theta_1\geqslant 0,\theta_1 z\in C$ ，可知 $\forall \theta_1\geq 0,x\in [x_1,+\infty ],(\theta_1 x,\theta_1 f(x))\in z\Rightarrow \forall \theta_1\geq 0,x\in [x_1,+\infty ],(\theta_1 x,\theta_1 f(x))=(\theta_1 x,\theta_1 f(x))$