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最新推荐文章于 2022-11-04 21:38:12 发布

Σ_aphasia

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划算法 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/laysan/article/details/123563115

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这篇博客探讨了一个n*m的网格路径问题，要求从左上角走到右下角，途中收集至少p个0和q个1。通过分析得出，当p+q超过n+m-1时无解。博主使用三维动态规划dp[i][j][k]表示到达(i,j)位置且持有k个0的状态，并利用滚动数组进行空间优化，最后输出满足条件的路径数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意

给定一个 $n * m$ 的网格，每个格子内只能是 $0$ 或 $1$ ，现在要求从网格的左上角 $(1, 1)$ 走到网格的右下角 $(n, m)$ ，且每次只能向右或向下移动一格。要求在走到终点时，至少拿到了 $p$ 个 $0$ 和 $q$ 个 $1$ 。

分析

不论选择以何种路径行走，能够经过的格子数最多为 $n + m - 1$ ，因此当 $p + q ＞ n + m - 1$ 时，一定不存在合法的方案满足条件，由此降低数据 $p$ $q$ 的范围。

采用暴力 $d p$ 时，将有四维状态 $d p [i] [j] [p] [q]$ 表示走到第 $(i, j)$ 点时，已经持有 $p$ 个 $0$ 和 $q$ 个 $1$ 的状态。由于该网格中只存在 $0$ 或 $1$ ，因此可以考虑只保留拥有 $0$ 的数量，通过当前已走过的步数反推 $1$ 的数量，由此优化为三维状态 $d p [i] [j] [k]$ 。同时也可得采用三维状态的转移方程有：

当点 $(i, j) = 0$ 时， $d p [i] [j] [k] = d p [i - 1] [j] [k - 1] + d p [i] [j - 1] [k - 1]$ ；

当点 $(i, j) = 1$ 时， $d p [i] [j] [k] = d p [i - 1] [j] [k] + d p [i] [j - 1] [k]$ ；

然而，此时的数组大小为 $500 * 500 * 1000$ ，依然会炸。由于对于每一行只需要考虑上一行的状态，因此采用滚动数组进行优化。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=505;
const int mod=998244353;
int a[maxn][maxn];
ll dp[4][550][1050];
int n,m,p,q;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>p>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>a[i][j];
    if(a[1][1]) 
    	dp[1][1][0]=1;
    else 
    	dp[1][1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i==1&&j==1) 
            	continue;
            if(a[i][j])
                for(int k=0;k<=i+j-2;k++)
                    dp[i%2][j][k]=(dp[(i+1)%2][j][k]%mod+dp[i%2][j-1][k]%mod)%mod;

            else{
                dp[i%2][j][0]=0;
                for(int k=1;k<=i+j-1;k++)
                    dp[i%2][j][k]=(dp[(i+1)%2][j][k-1]%mod+dp[i%2][j-1][k-1]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=p;i<=n+m-1-q;i++)
        res=(res+dp[n%2][m][i])%mod;
    cout<<res%mod<<endl;
    return 0;
}