[CF868F] Yet Another Minimization Problem

最新推荐文章于 2021-03-21 13:22:24 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/PaperCloud/p/10241972.html

本文探讨了一种解决特定序列划分问题的算法，目标是最小化由子序列中相同元素对数构成的总费用。通过决策单调性分析，采用分治策略优化计算过程，实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定一个序列，要把它分成k个子序列。每个子序列的费用是其中相同元素的对数。求所有子序列的费用之和的最小值。

Solution

仍然是决策单调性的题目。

\(f[i][j]\)表示把前\(i\)个数分成\(j\)份的最小费用。
\[ f[i][j]=min(f[k][j-1]+w(k+1,i)) \]
显然这个决策点是会单调递减的，但是我们不能直接维护一个栈来完成了，因为\(w(k+1,i)\)是不能直接的算的。我们采用分治的做法，先找到\(f[mid][j]\)的决策点，然后分别算\([l,mid)\)和\((mid,r]\)的就行了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MN 100005
ll f[2][MN],a[MN],w[MN];
void solve(ll *F,ll *G,int l,int r,int ql,int qr,ll now)
{
    if(l>r) return;
    register int i,k=0,mid=(l+r)>>1,p=min(mid,qr);
    
    for(i=l;i<=mid;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=ql;i<=p;++i) now-=--w[a[i]],F[mid]>G[i]+now?F[mid]=G[i]+now,k=i:0;
    for(i=ql;i<=p;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=l;i<=mid;++i) now-=--w[a[i]];
    solve(F,G,l,mid-1,ql,k,now);
    
    for(i=l;i<=mid;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=ql;i<k;++i) now-=--w[a[i]];
    solve(F,G,mid+1,r,k,qr,now);
    
    for(i=ql;i<k;++i) ++w[a[i]];
    for(i=l;i<=mid;++i) --w[a[i]];
}
int main()
{
    register int n=read(),k=read(),i;
    for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    for(i=1;i<=n;++i) f[1][i]=f[1][i-1]+w[a[i]]++;
    memset(w,0,sizeof w);
    for(i=2;i<=k;++i)
    {
        memset(f[i&1],0x3f,sizeof f[i&1]);
        solve(f[i&1],f[(i-1)&1],1,n,1,n,0);
    }
    printf("%lld\n",f[k&1][n]);
    return 0;
}

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