[CF868F] Yet Another Minimization Problem

本文探讨了一种解决特定序列划分问题的算法,目标是最小化由子序列中相同元素对数构成的总费用。通过决策单调性分析,采用分治策略优化计算过程,实现高效求解。

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Description

给定一个序列,要把它分成k个子序列。每个子序列的费用是其中相同元素的对数。求所有子序列的费用之和的最小值。

Solution

仍然是决策单调性的题目。

\(f[i][j]\)表示把前\(i\)个数分成\(j\)份的最小费用。
\[ f[i][j]=min(f[k][j-1]+w(k+1,i)) \]
显然这个决策点是会单调递减的,但是我们不能直接维护一个栈来完成了,因为\(w(k+1,i)\)是不能直接的算的。我们采用分治的做法,先找到\(f[mid][j]\)的决策点,然后分别算\([l,mid)\)\((mid,r]\)的就行了。

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MN 100005
ll f[2][MN],a[MN],w[MN];
void solve(ll *F,ll *G,int l,int r,int ql,int qr,ll now)
{
    if(l>r) return;
    register int i,k=0,mid=(l+r)>>1,p=min(mid,qr);
    
    for(i=l;i<=mid;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=ql;i<=p;++i) now-=--w[a[i]],F[mid]>G[i]+now?F[mid]=G[i]+now,k=i:0;
    for(i=ql;i<=p;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=l;i<=mid;++i) now-=--w[a[i]];
    solve(F,G,l,mid-1,ql,k,now);
    
    for(i=l;i<=mid;++i) now+=w[a[i]]++;
    for(i=ql;i<k;++i) now-=--w[a[i]];
    solve(F,G,mid+1,r,k,qr,now);
    
    for(i=ql;i<k;++i) ++w[a[i]];
    for(i=l;i<=mid;++i) --w[a[i]];
}
int main()
{
    register int n=read(),k=read(),i;
    for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    for(i=1;i<=n;++i) f[1][i]=f[1][i-1]+w[a[i]]++;
    memset(w,0,sizeof w);
    for(i=2;i<=k;++i)
    {
        memset(f[i&1],0x3f,sizeof f[i&1]);
        solve(f[i&1],f[(i-1)&1],1,n,1,n,0);
    }
    printf("%lld\n",f[k&1][n]);
    return 0;
}



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### 秩极小化问题及其解决方案 #### 定义与背景 秩极小化问题是寻找具有最小秩的矩阵 \( X \),使得该矩阵满足给定的一组线性约束条件。形式上,可以表示为: \[ \min_{X} \text{rank}(X) \quad \text{s.t.} \; AX = b, \] 其中 \( A \) 是一个已知的线性映射,\( b \) 是观测向量。 此类问题广泛应用于机器学习、信号处理等领域,在实际应用中通常难以直接求解因为这是一个 NP-hard 问题[^1]。 #### 解决方案概述 由于直接求解上述问题非常困难,研究者们提出了多种近似算法来间接解决问题。主要的方法有核范数最小化和凸松弛法两种途径。 ##### 核范数最小化 一种常见的替代策略是最小化矩阵的核范数(即奇异值之和),这相当于原始问题的一个紧致下界。具体来说, \[ \min_X \|X\|_* \quad \text{s.t.} \; AX=b. \] 这种方法利用了低秩矩阵往往对应较小核范数的事实,并且可以通过半正定规划(SDP)有效计算得到全局最优解[^2]。 ##### 凸松弛技术 另一种常用的技术是对原非凸目标函数进行适当变换使其变为易于处理的形式。例如引入辅助变量或将等式约束转换成不等式的组合方式实现简化后的模型构建。对于某些特定类型的秩极小化问题,还可以通过拉格朗日对偶理论将其转化为更易解析或数值求解的新表达形式。 ```python import numpy as np from cvxpy import Variable, norm, Problem, Minimize def nuclear_norm_minimization(A, b): """Solve the rank minimization problem using nuclear norm.""" m, n = A.shape[0], A.shape[1] X = Variable((n,n)) objective = Minimize(norm(X,"nuc")) constraints = [A @ vec(X) == b] prob = Problem(objective, constraints) result = prob.solve() return X.value # Helper function to vectorize matrix columns into a single column vector def vec(M): return M.T.reshape(-1,) ```
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