54、数值动态规划的进展与新应用

数值动态规划的进展与新应用

多维随机最优增长问题

在经济领域，多维随机最优增长问题是一个重要的研究方向。该问题的动态规划模型可以表示为：
[
\begin{align }
V_t(k, \theta) &= \max_{c,l,I} u(c, l) + \beta E \left[ V_{t + 1}(k^+, \theta^+) | \theta \right]\
\text{s.t. } k^+ j &= (1 - \delta)k_j + I_j + \epsilon_j, \quad j = 1, \ldots, d\
\Lambda_j &= \frac{\zeta}{2} k_j \left( \frac{I_j}{k_j} - \delta \right)^2, \quad j = 1, \ldots, d\
\sum {j = 1}^{d} (c_j + I_j - \delta k_j) &= \sum_{j = 1}^{d} (f(k_j, l_j, \theta_j) - \Lambda_j)\
\theta^+ &= g(\theta, \xi_t)
\end{align }
]
其中，(k = (k_1, \ldots, k_d)) 是连续状态向量，(\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_d) \in \Omega = {(\vartheta_{j,1}, \ldots, \vartheta_{j,d}): 1 \leq j \leq D}) 是离散状态向量，(c = (c_1,