53、数值动态规划进展与新应用

数值动态规划进展与新应用

1. 投资组合优化问题设定

在投资组合优化问题中，债券的无风险回报率 $R_f = 1.04$，股票的离散随机回报率 $R$ 为：
- 以 $1/2$ 的概率取值 $0.9$；
- 以 $1/2$ 的概率取值 $1.4$。

初始财富 $W_0$ 的范围是 $[0.9, 1.1]$，终端效用函数为 $u(W) = \frac{(W - K)^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}$，其中 $\gamma = 2$，$K = 0.2$，这意味着终端财富必须始终大于 $0.2$。并且，在这个例子中不允许借贷或卖空，即对于所有 $t$，有 $B_t \geq 0$ 和 $S_t \geq 0$。

由于终端效用函数的形式，终端财富 $W_T$ 必须大于 $K$，进而有 $W_t > K{R_f}^{t - T}$。考虑到不允许卖空或借贷且 $R$ 有界，我们选择用于近似价值函数的范围 $[ \underline{W} t, \overline{W}_t ]$ 如下：
$\underline{W} {t + 1} = \max \left( \min(R)\underline{W} t, K{R_f}^{t - T} + \varepsilon \right)$
$\overline{W} {t + 1} = \max(R)\overline{W}_t$

其中，给定初始财富边界 $[ \underline{W}_0, \overline{W}_0 ]$，$\varepsilon > 0$ 是一个小的正数。具体来说，当 $K = 0.2$，$