47、大规模动态经济模型的数值方法解析

大规模动态经济模型的数值方法解析

1. 一阶条件

假设规划者对模型的解是内部解，因此满足一阶条件（FOCs）：
- $\lambda_t\left(1 + \varphi\left(\frac{k_{h,t + 1}}{k_{h,t}} - 1\right)\right) = \beta E_t\left[\lambda_{t + 1}\left(1 + \frac{\varphi}{2}\left(\frac{k_{h,t + 2}}{k_{h,t + 1}}\right)^2 - 1\right) + \theta_{h,t + 1}f_{h,k}(k_{h,t + 1}, \ell_{h,t + 1})\right]$
- $u_{h,c}(c_{h,t}, \ell_{h,t})\tau_h = \lambda_t$
- $u_{h,\ell}(c_{h,t}, \ell_{h,t})\tau_h = -\lambda_t\theta_{h,t}f_{h,\ell}(k_{h,t}, \ell_{h,t})$

其中，$\lambda_t$ 是与总资源约束相关的拉格朗日乘子。这里，$F_x$ 表示函数 $F(\cdots, x, \cdots)$ 关于变量 $x$ 的一阶偏导数。

2. 分离跨期和当期选择

全局欧拉方程方法旨在求解上述均衡条件，将其分为跨期和当期选择条件。

2.1 跨期选择

通过结合相关方程消除 $\lambda_t$，并进行整理得到：
$k_{h,t + 1} = \beta E_t\left[\frac{u_{h,c}(c_{h,t + 1}, \