62、离散模型在物理中的应用与分析

离散模型在物理中的应用与分析

1. 密度泛函理论中的相关近似

在某些研究中，对于相关能量泛函 $E_{xc}[n]$，可以使用费米液体理论中的近似方法。相关能量泛函的表达式为：
$E_{xc}[n]=-\frac{3}{2}(\frac{3}{\pi})^{\frac{1}{3}}\int n^{\frac{4}{3}}d^3r - 0.056\int \frac{n^{\frac{4}{3}}}{0.079 + n^{\frac{1}{3}}}d^3r$

解决这样的问题并不比Hartree - Fock计算更复杂，并且通过最后一项可以近似包含关联效应。在实际应用中，已经尝试了各种 $E_{xc}[n]$ 的形式，总体而言，该方法取得了很大的成功。在涉及磁性和电流的问题中，需要扩展这种形式主义。Vignale和Rasolt提出了所谓的“电流密度”泛函形式主义，Runge和Gross则构建了含时密度泛函形式主义。

2. 矩阵模型及其应用

• 2×2矩阵模型 ：最简单的矩阵模型是 $2\times2$ 矩阵，其形式为：
  $H = \begin{pmatrix} E_a & V \ V^* & E_b \end{pmatrix}$
  该模型有很多应用，例如双原子分子。当 $E_a$ 和 $E_b$ 是原子能级，$V$ 是混合项（可表示共价键）时，会得到一个成键能级和一个反键能级，这是像 $H_2^+$ 这样分子的模型。这种理论模型虽然粗糙，它考虑了电子离域的能量增益，但忽略了相互作用和关联效应。不过，从定性的角度来看，它是有效的，而经典理论无法解释共价键。这种矩阵模型，对