61、量子力学中的变分原理及相关方法

量子力学中的变分原理及相关方法

1. 薛定谔 - 泡利理论的变分原理

在量子力学中，变分原理是一个重要的工具。对于一个量子系统，我们有归一化条件 (N = \langle\psi|\psi\rangle = \alpha^2 + 4\beta^2 = 1)，能量 (E = \langle\psi|H|\psi\rangle = 8\alpha\beta - 3\alpha^2)。为了找到能量的极值，我们构造函数 (f(\alpha, \beta) = E - \lambda N)。

对 (f(\alpha, \beta)) 分别关于 (\alpha) 和 (\beta) 求偏导数并令其为 0，得到：
(\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial \alpha} = 0 \Rightarrow 4\beta = (3 + \lambda)\alpha \
\frac{\partial f}{\partial \beta} = 0 \Rightarrow \alpha = \lambda\beta
\end{cases})

由 (\lambda(3 + \lambda) = 4) 解得 (\lambda = -4) 和 (\lambda = 1)。
- 当 (\lambda = -4) 时，(\alpha = -4\beta)，得到波函数 (\psi_{-4} = \frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix}-4\1\1\1\1\end{pmatrix})，这是精确的基态，其本征值 (\epsilon = -4)。
- 当 (\lambda = 1) 时，(\al