60、量子物理中的重要理论与原理

量子物理中的重要理论与原理

1. 海森堡表象与有限温度

在量子物理中，多体格林函数在海森堡表象下被定义为期望值。在海森堡表象里，波函数 $|\Psi_H\rangle$ 等同于在某一固定时刻 $t_0$ 拍摄的通常的薛定谔波函数 $|\Psi_S(t_0)\rangle$，它不随时间变化。期望值可以表示为：
$\langle A(t)\rangle = \langle \Psi_H|A_H(t)|\Psi_H\rangle$ (20.36)

所有的时间依赖都由算符来处理，算符 $A_H(t)$ 的表达式为：
$A_H(t) = U_S^{\dagger}(t, t_0)A_SU_S(t, t_0)$ (20.37)

设 $\Psi_{\alpha}^{\dagger}$ 是由一组量子数 $\alpha$ 定义的态的产生算符。单粒子性质可以通过单粒子格林函数来研究：
- $g^<(t, t’) = \langle \Psi_H^{\dagger}(t’)\Psi_H(t)\rangle$ (20.38)
- $g^>(t, t’) = \langle \Psi_H(t)\Psi_H^{\dagger}(t’)\rangle$ (20.39)

在平衡态下，$g^<$ 描述占据态，$g^>$ 描述空态。如果 $\hat{A}$ 是一个与时间无关的算符，容易证明：
$i\frac{d\hat{A} H}{dt} = [\hat{A}_H, H_H] -$ (20.40)

海森堡表象常被用于利用能量本征态的复时间依赖（如 $e^{-\frac{iEt}{\