49、三维单粒子定态及相关物理现象解析

三维单粒子定态及相关物理现象解析

1. 三维单粒子的径向波函数

在三维空间中，单粒子的径向波函数是描述粒子状态的重要工具。对于不同的量子数组合，有不同形式的径向波函数。例如，在一定的归一化条件下：
- (R_{20}(\rho) = e^{-\frac{\rho}{2}}(1 - \frac{1}{2}\rho))，当 (n_r = 0)，(l = 1) 时，通过特定公式 (a_{\nu + 1} = \frac{\nu}{(\nu + 1)(\nu + 4)}a_{\nu}) 计算可得 (a_1 = 0)，进而得到 (R_{21}(\rho) = e^{-\frac{\rho}{2}}\rho)。
- 以下是一些归一化后的径向波函数：
- (R_{1,0} = \frac{2}{\sqrt{a_0^3}}e^{-\rho})
- (R_{2,0} = \frac{1}{\sqrt{2a_0^3}}(1 - \frac{\rho}{2})e^{-\frac{\rho}{2}})
- (R_{2,1} = \frac{1}{\sqrt{24a_0^3}}\rho e^{-\frac{\rho}{2}})
- (R_{3,0} = \frac{2}{\sqrt{27a_0^3}}(1 - \frac{2\rho}{3} + \frac{2\rho^2}{27})e^{-\frac{\rho}{3}})
- (R_{3,1} = \frac{8}{27\sqrt{6a_0^3}}(1 - \frac{\rho}{6})\rho e^{-\frac{\rho}{3}})
- (R_{3,2} = \frac{4}{81\sqrt{30a_0^3}}