26、引力：从相对论到黑洞的探索

引力：从相对论到黑洞的探索

1. 广义协变原理与弯曲时空

1.1 广义运动方程

在狭义相对论中，粒子的四维速度分量为 (v_i = \frac{dx^i}{d\tau})，其中固有时间 (\tau) 与间隔 (s) 满足 (s = c\tau)。在广义相对论中，我们保留这个表达式，但四维加速度发生了变化。为满足广义协变要求，基本方程中的所有量必须是张量，所有导数必须替换为 (7.19) 类型的协变导数，即 (d \to D)。

一个受电磁力场 (f) 作用的测试质量 (m) 的运动方程变为：
[m\left(\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\frac{dx^{\sigma}}{d\tau}\right) = f^{\mu}]

自由下落的质量（无外力 (f) 时）遵循时空测地线。常见的抛物线实际上就是一条测地线，尽管我们周围空间的曲率非常小，但时空的曲率是明显可见的。涉及联络系数的项代表了有效的惯性力和引力。

我们可以通过 (g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}) 来分析，其中 (\eta_{\mu\nu}) 是狭义相对论的极限，(h_{\mu\nu}) 是小的修正项。经过一系列推导，在非相对论极限下，运动方程近似为：
[m\frac{d^2x^i}{dt^2} = -m\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{mc^2}{2}h_{00}]

这是牛顿理论的结果，证实了在非相对论极限下，度规张量的 00 元素为 (