7、经典力学中的泊松括号、德拉诺元素与诺特定理

经典力学中的泊松括号、德拉诺元素与诺特定理

1. 泊松括号

在经典力学里，设 $F = F(p(t), q(t), t)$ 为一个可测量的物理量，它是正则变量的函数。当 $q(t)$ 和 $p(t)$ 沿着轨迹变化时，$F$ 在时刻 $t$ 所取的值在所有正则变换下必定是不变的。$F$ 对时间的全导数为：
$\dot{F} = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_{i}(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q} {i} + \frac{\partial F}{\partial p {i}}\dot{p}_{i})$

沿着轨迹，$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$，$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}$，由此可得：
$\dot{F} = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_{i}(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}) = \frac{\partial F}{\partial t} + {F, H}_{p,q}$

这里引入了泊松括号，对于正则变量的任意两个函数 $A(p, q)$ 和 $B(p, q)$，泊松括号定义为：
${A, B} {p,q} \equiv \sum {