洛谷P1216 贪心法与动态规划的选择

洛谷P1216——动态规划

题目解析

在面对这样的数字三角时，我们可能会想到的有的有两种方式解决这个问题，这里我们要去找到的是最大的路径，得到的将会是最优的决策，也就是全局最优。
当看到全局最优我们可能会想到的就有两种方法。

一、贪心法

当我们想要推出全局最优，使用贪心法，首先就要做出每一个小决策的最优方式，把大的问题简化为多个小问题，通过局部最优决策推导出全局最优决策。
这里的小问题，就是在做出每一次决策如何选择的问题，也就是当前m[i][j]的决策，是选择m[i+1][j]还是m[i+1][j+1]的问题，既然是最大，那么我们肯定是选择两个决策中较大的，然后再将当前的值相加。
推导过程：7——>8——>1——>7——>5 结果：28 可以看出每一个决策都是选择所谓最优的，但是得到的结果并不是全局最优。最优的应该是题目给出的路径，通过举反例，可以看出贪心法，并不能推导出全局最优，但是也差不多。
总结：再使用贪心法是，判断能否实现目标效果，通过举反例（其中一种方式）方法，便可分遍出是否可行，很显然，这里并不能得到我们想要的结果。

二、动态规划

在使用动态规划时，首先我们需要找到的是：状态转移方程，每一个节点的就是一个状态，在这里，可以通过逆序的方式在找到转移方程。注意：需要从倒数第二排开始进行计算。
状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+m[i][j];
dp中的每一个节点都是一个状态，得到的是m[i][j]+m[i+1][j] 与 m[]i[j]+m[i+1][j+1]中较大的值，与贪心法不同的是，先算出结果，在来做决策，所以，每一个节点的值，就是以当前位置向下的最大路径，最终的结果直接输出目标节点的状态值就好了。

实现方法

首先要想到最后一排节点的最大路径，很显然其实就是他本身了，所以最后一排不用算，直接将m中的最后一排赋值给dp最后一排就好了；

	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[n][i]=m[n][i];
	}
	

既然最后一排的最大路径已经得到，那么接下来直接从n-1排开始计算，调用转移方程：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+m[i][j];
在计算当前节点时，计算的是结果最优路径，因为最后一排的值已经是最优路径了，所以，m[i][j]节点要加上的是结果最优路径，要加的是dp中的[i+1][j] [i+1][j+1]中最大的哪一个结果，从而得到的就是最优路径。

for(int i=n-1;i>=1;i--){//从n-1排开始计算
		for(int j=1;j<=i;j++){//第i排的第j个元素
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+m[i][j];//求这个节点的最大路径
		}
	}
	

dp中每个节点的状态

最后直接输出目标节点

cout<<dp[1][1]//目标节点就是从最上方，走到最下方的最优路径

完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 1050 
int n;//n表示n行n列
int m[M][M]; //最大的矩阵，并不会全部使用到 
int dp[M][M]; 
//输入函数 
//注意这里的输入并不是需要完全输入，只需要输入一个三角就是 
void test(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cin>>m[i][j];
		}
	}
}
//输出函数 在程序中可以不用，这里用作验证dp中所有节点状态，或调试m中能否正确输入
void print(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cout<<dp[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
} 
int main(){
	cin>>n;
	test(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[n][i]=m[n][i];
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+m[i][j];
		}
	}
	cout<<dp[1][1];
	
	return 0;
}