20、概率理论基础与应用详解

概率理论基础与应用详解

1. 概率基础概念

1.1 概率的定义

概率理论最好基于一组公理进行数学构建，从而形成一个定义明确的演绎理论，这就是公理化方法。我们通过物理描述和简单示例来直观地引出集合论公理化方法的起点。

假设在相同条件下进行 (n) 次独立试验，特定事件 (A) 可能发生或不发生。设 (n(A)) 为事件 (A) 发生的试验次数，则事件 (A) 发生的相对频率 (n(A)/n)，当 (n\to\infty) 时会趋近于一个常数，这个常数就是事件 (A) 的概率，记为：
[P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{n(A)}{n}]
例如，抛一枚均匀硬币，得到正面的概率是 (1/2)。

1.2 掷骰子示例

以掷单个骰子为例：
- 基本结果 ：试验的可能结果属于集合 (S = {1, 2, 3, 4, 5, 6})。如果骰子是均匀的，每个基本元素出现的概率为 (P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6})。
- 复合事件 ：
- 事件“掷出偶数点”由集合 (E = {2, 4, 6}) 中的元素组成，其概率 (P(E)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{1}{2})。
- 事件“掷出三点或更多点”由集合 (B = {3, 4, 5, 6}) 中的元素组成，其概率 (P(B)=P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\frac{2}{3})。

1.3 概率公理

为每个由集合 (S) 中的基