19、数学与图像处理中的变换及概率理论

数学与图像处理中的变换及概率理论

1. 图形变换基础

在图形处理中，常常会遇到各种变换操作。例如，有一个课堂练习要求将一个梯形按照与 x 轴成 30°角、长度为 5 的向量进行平移。

一些常见的图形变换，如关于原点的反演、关于坐标轴的反射、旋转和缩放，都可以用乘法矩阵来表示。通过这些矩阵的乘积，就能够描述对图形依次进行多个操作的复合变换。然而，平移操作是通过加法来表示的，这使得它暂时无法直接融入矩阵乘法的体系中。

举个例子，要将一个梯形绕点 Q(-5, 5)旋转 π/4 角度。为了解决这个问题，我们可以把它分解为以下几个基本操作：
1. 进行平移，将点 Q 移到新坐标系的原点。
2. 使用旋转公式，绕新原点旋转 π/4 角度。
3. 将原点平移回初始位置。

用矩阵形式表示上述操作如下：
1. (G_1 = G + T * ones(1, n))，其中 (T = \begin{bmatrix}5\ -5\end{bmatrix})，(n = 4)。
2. (G_2 = R(\frac{\pi}{4}) * G_1)。
3. (G_3 = G_2 - T * ones(1, n))。

下面是实现上述变换序列的 MATLAB 脚本 M - 文件：

plot(-5,5,'*')
hold on
G=[2 6 5 3 2; 1 1 3 3 1];
plot(G(1,:),G(2,:),'b')
T=[5;-5];
G1=G+T*ones(1,5);
plot(G1(1,:),G1(2,:), 'r')
R=[c