21、概率与函数知识详解

概率与函数知识详解

1. 概率问题

1.1 电阻缺陷概率问题

假设有四个盒子，每个盒子都装有 1000 个电阻。其中，盒子 1 有 100 个次品，盒子 2 有 400 个次品，盒子 3 有 50 个次品，盒子 4 有 80 个次品。
- 随机选取一个电阻为次品的概率 ：由于随机选择盒子，每个盒子被选中的概率都是 0.25。那么随机选取一个电阻为次品的概率，需要综合考虑从每个盒子中取出次品的概率。
- 已知电阻为次品，其来自盒子 2 的概率 ：这需要用到条件概率的知识，结合前面计算出的随机选到次品的概率以及从盒子 2 中选到次品的概率来计算。

1.2 伯努利试验

伯努利试验是指相同、连续且独立的试验，在每次试验中，一个基本事件 A 发生的概率为 (p = P(A))，不发生的概率为 (q = 1 - p)。
在 (n) 次连续的伯努利试验中，每个基本事件可以用 0 和 1 的序列来描述。例如，(\omega = \cdots - 1 0 0 0 1)（(n) 位，(k) 个 1）。因为试验是独立的，所以上述单个事件发生的概率为 (P(\omega) = p^kq^{n - k})。
而在 (n) 次试验中，有 (k) 次成功的事件的总概率，是单个事件的概率乘以具有给定位数和给定 1 的数量的组合数，组合数由二项式系数 (C_{n}^k) 给出，即 (P(k\text{ 次成功在 }n\text{ 次试验中}) = C_{n}^k p^kq^{n - k})。

1.2.1 示例