17、量子计算基础与相关概念解析

量子计算基础与相关概念解析

一、矩阵的酉性与特征值、特征向量

首先，我们来检查矩阵 (F) 的酉性。通过矩阵乘法 (
\begin{bmatrix}
0 & -i \
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
i & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{bmatrix}
= I)，证明了矩阵 (F) 是酉矩阵。

接着，使用特征方程 (\det(F - \lambda I) = 0) 来求特征值。即(\begin{vmatrix}
-\lambda & i \
1 & -\lambda
\end{vmatrix}
= -\lambda^2 + i = 0)，解得特征值 (\lambda = \pm\sqrt{i})。根据复数指数知识，(e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i)，所以 (\sqrt{i} = e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}})。

将特征值代回特征值问题 (F|u\rangle = \pm|u\rangle)，对于 (\begin{bmatrix}
0 & 1 \
i & 0
\end{bmatrix}
\begin{bm