数学基础day2-高数-6多元函数

 1.二元极限

1.1定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当 
$$
0<\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}<δ
$$
时，总有：

∣f(x,y)−L∣<ϵ

则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作：
$$
\lim⁡ _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L
$$

1.2几何意义

当点 (x,y)从**任意方式**趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点 (a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

eg1

$$
f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
$$
在点 (0,0)处的极限

解：

1. 沿 x轴趋近：
   当 y=0 时，
   $$
   f(x,0)=\dfrac{x^{2}⋅0}{x^{2}+0^{2}}=0
   $$
   。因此：
   $$
   \lim _{⁡x→0}f(x,0)=0
   $$

2. 沿 y轴趋近：
   当 x=0时，
   $$
   f(0,y)=\dfrac{0^{2}⋅y}{0^{2}+y^{2}}=0
   $$
   。因此：
   $$
   \lim⁡ _{y→0}f(0,y)=0
   $$

3. 沿任意直线 y=kx趋近：
   当 y=kx 时，
   $$
   f(x,kx)=\dfrac{x^{2}⋅kx}{x^{2}+(kx)^{2}}=\dfrac{kx^{3}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\dfrac{kx}{1+k^{2}}
   $$
   。因此：
   $$
   \lim _{⁡x→0}f(x,kx)=\lim _{⁡x→0}\dfrac{kx}{1+k^{2}}=0
   $$

4. 沿抛物线
   $$
   y=x^2
   $$
   趋近：
   当
   $$
   y=x^2
   $$
   时，
   $$
   f(x,x^2)=\dfrac{x^2⋅x^2}{x^2+x^4}=\dfrac{x^2}{1+x^2}
   $$
   。因此：
   $$
   \lim⁡ _{x→0}f(x,x2)=\lim⁡ _{x→0}\dfrac{x^2}{1+x^2}=0
   $$
   由于函数在点 (0,0)的任意方向上的极限都为 0，因此：
   $$
   \lim⁡ _{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=0
   $$

eg2

求
$$
\lim _{(x,y)\rightarrow (0,2)}\dfrac{sin(xy)}{x}
$$
解：
$$
\lim _{(x,y)\rightarrow (0,2)}