数学基础day1-高数-2导数

1，导数定义

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作

即：

平均变化率：在 x=x0 和 x=x0 + Δx 之间，函数的平均变化率是

这个比值表示函数在这段区间内的平均变化速度。

瞬时变化率：当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率的极限值就是函数在 x=x0处的瞬时变化率，即导数 f′(x0)。

2，单侧导数

2.1左导数

函数 f(x)在点 x=a 处的左导数定义为：

其中 h→0−表示 h 从负方向趋近于 0。

2.2右导数

函数 f(x)在点 x=a处的右导数定义为：

其中 h→0+表示 h 从正方向趋近于 0。

2.3导数的存在性

函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f′(a)存在，当且仅当左导数和右导数都存在且相等：

2.导数的几何意义

2.1切线

f(x)在点 (a,f(a))处的斜率：

所以切线方程可以表示为：

化简切线方程：

将切线方程化简为标准形式 y=mx+b，其中 m 是斜率，b 是截距。

2.2法线

与切线垂直的直线。切线的斜率为f'(a)，则法线的斜率为

法线方程的一般形式是：