数学基础day1-高数-4不定积分

1.定义

如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分
$$
\int f(x) dx
$$
表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：

$$
\int f(x) dx=F(x)+C
$$
其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

2.基本积分公式

2.1常数积分：

$$
∫k dx=kx+C(其中 k 是常数)
$$

2.2幂函数积分：

$$
∫x^{n} dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C(其中 n≠−1)
$$

2.3指数函数积分：

$$
∫e^{x} dx=e^{x}+C
$$

$$
∫a^{x} dx=\dfrac{a^{x}}{ln⁡a}+C(其中 a>0 且 a≠1)
$$

2.4对数函数积分：

$$
∫\dfrac{1}{x} dx=ln⁡∣x∣+C
$$

2.5三角函数积分：

$$
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C
$$

$$
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C
$$

2.6反三角函数积分：

$$
∫\dfrac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} dx=arcsin⁡x+C
$$

$$
∫\dfrac{1}{1+x^{2}} dx=arctan⁡x+C
$$

eg1

$$
∫x^{2} dx
$$

使用幂函数积分公式：
$$
∫x^{2} dx=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C=\dfrac{x^{