29、离散与连续策略空间中的复制动态

离散与连续策略空间中的复制动态

在许多实际场景中，策略选择并非是离散有限的，而是连续的。例如在足球比赛中，球员踢球的方向、无球时的跑位等都是连续的。但通常为了简化问题，会采用少量离散动作来代替连续参数。经典的复制动态（RD）描述的是离散策略混合的演化，而对于连续参数，则需要描述该参数上的概率分布，此时RD需用策略空间和时间上的时空偏微分方程（PDE）来替代，其解能给出策略分布函数随时间的演化，最终收敛到对应PDE的稳态解。

1. 博弈论基础概念

为了更好地理解演化动态模型，我们先介绍博弈论和演化博弈论的基础概念。

1.1 离散策略集的战略博弈

• 标准型博弈 ：n 人标准型博弈是一种涉及 n 个玩家之间得失的冲突情况。玩家们反复互动，同时选择一个行动（或策略）。为简化，我们将玩家的纯策略集限制为 2 个策略。策略定义为所有可能行动上的概率分布。在 2 个纯策略的情况下，(s_1 = (1, 0)) 和 (s_2 = (0, 1))，混合策略 (s_m = (x_1, x_2))，其中 (x_1, x_2 \neq 0) 且 (x_1 + x_2 = 1)。

对于 2 人 2 行动的博弈 (G = (S_1, S_2, P_1, P_2))，由支付函数 (P_1, P_2) 及其策略集 (S_1)（第一个玩家）和 (S_2)（第二个玩家）定义。支付函数 (P_1 : S_1×S_2 →ℜ) 和 (P_2 : S_1×S_2 →ℜ) 由支付矩阵 (A)（第一个玩家）和 (B)（第二个玩家）定义。