32、核模糊分类器与多面体区域模糊分类器的原理与性能分析

核模糊分类器与多面体区域模糊分类器的原理与性能分析

1. 核模糊分类器的原理与性能评估

1.1 最大化间隔的概念

在具有椭球区域的模糊分类器中，当类别之间存在重叠时，可通过调整隶属函数（即逐个调整 $\alpha_i$）来解决重叠问题。当 $\alpha_i$ 增大时，$m_{\varphi_i}(x)$ 的斜率减小，隶属度增大，这可能使误分类的数据被正确分类，也可能使原本正确分类的数据被误分类。基于此，我们计算正确分类数据的净增加量。同样，通过增加斜率，我们也计算正确分类数据的净增加量。然后，在允许新的误分类的情况下，调整斜率以使识别率最大化。

最初，我们将 $\alpha_i$ 的值设为 1，此时具有椭球区域的核模糊分类器等同于基于核马氏距离的分类器。接着，我们调整 $\alpha_i$ 以使斜率间隔最大化，且不造成新的误分类。当调整后训练数据的识别率未达到 100% 时，我们调整 $\alpha_i$ 以使识别率最大化。

1.2 $\alpha_i$ 的上下界

设 $X$ 是初始 $\alpha_i$ 下被正确分类的训练数据集。对于属于类别 $i$ 的 $x (\in X)$，若 $m_{\varphi_i}(x)$ 最大，则存在一个 $\alpha_i$ 的下界 $L_i(x)$ 以保证 $x$ 被正确分类：
[L_i(x) = \frac{d^2_{\varphi_i}(x)}{\min_{j\neq i} h^2_{\varphi_j}(x)}]
不造成新误分类的下界 $L_i(1)$ 为：
[L_i(1) = \max_{x\in X} L_i(x)]
类似地，对于属于类别 $j