57、高效优化与不确定性量化：机器学习新方案

高效优化与不确定性量化：机器学习新方案

在当今的数学优化和工程设计领域，混合整数规划（MIP）问题的求解效率以及工程系统的不确定性量化（UQ）是两个重要的研究方向。本文将介绍两种创新的方法，分别用于解决MIP问题中的割平面选择以及工程系统的不确定性量化问题。

半监督学习在分支 - 割算法中的高效割选择方案

混合整数规划（MIP）是一类极为通用的数学优化问题，在调度、网络设计和生产规划等众多领域都有广泛应用。目前，最先进的商业求解器普遍采用分支 - 割算法，而割选择是该算法中至关重要的一环，高质量的割能显著提高求解效率。然而，现有的割选择方法主要依赖启发式算法，既需要专家知识，又缺乏通用性。

为了解决这些问题，研究人员提出了一种基于半监督学习的高效割选择方案。该方案的核心是通过设计割评估指标来区分高效割和低效割，并使用半监督机器学习模型进行学习。

方法

• 多实例学习（MIL） ：由于单个割对分支 - 割框架的整体效率影响较小，因此采用多实例学习方法。将割分组为“袋”，在袋级别进行评估和标签分配。
• 数据生成 ：考虑一个MIP问题 $P$，其形式为 $\max{c^T x : Ax \leq b, x_j \in Z, \forall j \in N_I}$，其中 $c, x \in R^n$，$A \in R^{m\times n}$，$N_I \subseteq N = {1, …, n}$。对于每个割 $c_i \in C$，其形式为 $\alpha_i^T x \leq \beta_i$。从候选割集 $C$ 中采样得到割袋