64、实数算术验证方法的综合探讨

实数算术验证方法的综合探讨

1. 实数零点定理的完整规则

在实数算术问题中，规则A1、A2、A3、A4、A5构成的演算并不完整。但在复数领域，希尔伯特零点定理表明A1和A3共同为复数域上的通用方程问题提供了决策程序。对于实闭域，斯滕格尔的实数零点定理给出了相应结果：

定理1（实闭域的零点定理）：设R为实闭域（例如R = ℝ），G是R[X1, …, Xn]的有限子集。集合{x ∈ ℝⁿ : g(x) = 0 对于所有g ∈ G}为空集，当且仅当存在多项式s1, …, sm ∈ R[X1, …, Xn]，使得1 + s₁² + · · · + sₘ² ∈ (G)。此外，如果G ⊆ ℚ[X1, …, Xn]，那么多项式s1, …, sm也可以从ℚ[X1, …, Xn]中选取。

基于此定理，为实数算术的通用片段提供了一种极其简单但完整的证明方法。除了已讨论的规则，还添加规则A6用于将方程1 + s₁² + · · · + sₘ² = 0引入证明目标。任何有效的证明目标都可以按以下方式完成证明：
1. 借助A3、A4、A5将后继中的不等式和方程转化为前件中的方程。
2. 使用A6生成由实数零点定理得出的见证1 + s₁² + · · · + sₘ²。
3. 通过A2的格罗布纳基计算来结束证明目标。

推论1（完整性）：结合命题规则，图1中的规则对于实数算术的通用片段是完整的。

然而，这种演算的主要困难在于它没有为选择见证1 + s₁² + · · · + sₘ² = 0提供任何指导。一种解决方法是采用半定规划，后续会介绍一种将半定规划与格罗布纳基相结合的新方法。

例如，对于蕴含式x ≥ y ∧ z ≥