38、HOCore形式化与仿射算术在实数证明中的应用

HOCore形式化与仿射算术在实数证明中的应用

1. HOCore的公理化及相关问题

在对HOCore进行公理化的过程中，有一系列重要的引理和定理。首先是关于取消引理（Cancellation Lemma），对于所有进程P、Q、R，如果P ∥R ∼o IO Q ∥R，那么P ∼o IO Q。接着引入了素进程（prime process）和素分解（prime decomposition）的概念。素进程的定义为：一个进程P是素的，如果P ≁o IO 0 且 P ∼o IO P1 ∥P2 意味着 P1 ∼o IO 0 或者 P2 ∼o IO 0。当 P ∼o IO ∏n i=1 Pi，且每个 Pi 都是素进程时，我们称 ∏n i=1 Pi 是 P 的素分解。并且证明了每个进程都有唯一的素分解（在双模拟和索引排列的意义下）。

然后定义了扩展结构同余（extended structural congruence，≡E），通过在 ≡ 中添加分配律：a(x).(P ∥ ∑k−1 1 a(x).P) ≡E ∑k 1 a(x).P。同时，还定义了约简关系 ⇝ 和范式（normal forms）。如果存在进程 P ′ 和 Q′，使得 P ≡P ′，Q′ ≡Q，并且 Q′ 是通过将 P ′ 的一个子项使用分配律从左到右重写得到的，我们就记为 P ⇝Q。一个进程 P 处于范式，如果它在 ≡E 系统中不能再使用 ⇝ 进行进一步简化。

最后，有三个重要的声明结束了公理化部分：
- 引理7：如果 a(x).P ∼o IO Q ∥Q′，且 Q, Q′ ≁o IO 0，那么 a(x).P ∼o IO ∑k 1 a(x).R，其中 k > 1 且 a(x).R 处于范式。
- 引理8：对于