本次作业主要还是考察分数计算。在竞赛中分数计算,肯定不会强行通分计算,因为这样计算量太大了,完全无法解决。
核心还是耐心观察分数,找出规律,然后开始破题。
- 假设 S2000=12+24+38+416+⋯+200022000S_{2000}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots+\frac{2000}{2^{2000}}S2000=21+42+83+164+⋯+220002000,试比较 S2000S_{2000}S2000 和 222 的大小。
解:通过观察,S2000S_{2000}S2000 最大的数据为 12\frac{1}{2}21。只要将S2000S_{2000}S2000 乘以 222,这样就可以得到:
2×S2000=1+12+24+38+416+⋯++2000219992 \times S_{2000}=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots++\frac{2000}{2^{1999}}2×S2000=1+21+42+83+164+⋯++219992000
S2000=2S2000−S2000=(1+12+24+38+416+⋯++200021999)−(12+24+38+416+⋯++200022000)=1−200022000<2S_{2000}=2S_{2000}-S_{2000}\\=(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots++\frac{2000}{2^{1999}})-(\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots++\frac{2000}{2^{2000}})\\=1-\frac{2000}{2^{2000}} < 2S2000=2S2000−S2000=(1+21+42+83+164+⋯++219992000)−(21+42+83+164+⋯++220002000)=1−220002000<2
故 S2000<2S_{2000}<2S2000<2
- 计算:(14+14)×(34+14)×((54+14)×⋯×((194+14)(24+14)×(44+14)×((64+14)×⋯×((204+14)\frac{(1^4+\frac{1}{4})\times(3^4+\frac{1}{4})\times((5^4+\frac{1}{4})\times \cdots \times((19^4+\frac{1}{4})}{(2^4+\frac{1}{4})\times(4^4+\frac{1}{4})\times((6^4+\frac{1}{4})\times \cdots \times((20^4+\frac{1}{4})}(24+41)×(44+41)×((64+41)×⋯×((204+41)(14+41)×(34+41)×((54+41)×⋯×((194+41)
解:由于原式比较复杂,肯定不能通过直接通分计算。通过观察分子和分母,每个项可以表示为 x4+14=(x2)2+(12)2x^4+\frac{1}{4}=(x^2)^2+(\frac{1}{2})^2x4+41=(x2)2+(21)2。这是不全的完全平方项,只有 (a+b)2(a+b)^2(a+b)2 中的 a2a^2a2 和 b2b^2b2,缺少了 2ab2ab2ab,我们可以通过补项,使其成为一个完全平方公式。
x4+14=(x2)2+2x212+(12)2−2x212=(x2)2+x2+(12)2−x2=(x2+12)2−x2x^4+\frac{1}{4}=(x^2)^2+2x^2\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2-2x^2\frac{1}{2}\\ =(x^2)^2+x^2+(\frac{1}{2})^2-x^2\\=(x^2+\frac{1}{2})^2-x^2x4+41=(x2)2+2x221+(21)2−2x221=(x2)2+x2+(21)2−x2=(x2+21)2−x2
这样,该式又变成了一个平方差公式。
(x2+12)2−x2=(x2+12+x)(x2+12−x)(x^2+\frac{1}{2})^2-x^2=(x^2+\frac{1}{2}+x)(x^2+\frac{1}{2}-x)(x2+21)2−x2=(x2+21+x)(x2+21−x)
即 x4+14=(x2+12+x)(x2+12−x)x^4+\frac{1}{4}=(x^2+\frac{1}{2}+x)(x^2+\frac{1}{2}-x)x4+41=(x2+21+x)(x2+21−x)
这样,
14+14=(12+12+1)(12+12−1)=(2+12)(0+12)1^4+\frac{1}{4}=(1^2+\frac{1}{2}+1)(1^2+\frac{1}{2}-1)=(2+\frac{1}{2})(0+\frac{1}{2})14+41=(12+21+1)(12+21−1)=(2+21)(0+21)
24+14=(22+12+2)(22+12−2)=(2+12)(6+12)2^4+\frac{1}{4}=(2^2+\frac{1}{2}+2)(2^2+\frac{1}{2}-2)=(2+\frac{1}{2})(6+\frac{1}{2})24+41=(22+21+2)(22+21−2)=(2+21)(6+21)
34+14=(32+12+3)(32+12−3)=(6+12)(12+12)3^4+\frac{1}{4}=(3^2+\frac{1}{2}+3)(3^2+\frac{1}{2}-3)=(6+\frac{1}{2})(12+\frac{1}{2})34+41=(32+21+3)(32+21−3)=(6+21)(12+21)
44+14=(42+12+4)(42+12−4)=(12+12)(20+12)4^4+\frac{1}{4}=(4^2+\frac{1}{2}+4)(4^2+\frac{1}{2}-4)=(12+\frac{1}{2})(20+\frac{1}{2})44+41=(42+21+4)(42+21−4)=(12+21)(20+21)
54+14=(52+12+5)(52+12−5)=(20+12)(30+12)5^4+\frac{1}{4}=(5^2+\frac{1}{2}+5)(5^2+\frac{1}{2}-5)=(20+\frac{1}{2})(30+\frac{1}{2})54+41=(52+21+5)(52+21−5)=(20+21)(30+21)
64+14=(62+12+6)(62+12−6)=(30+12)(42+12)6^4+\frac{1}{4}=(6^2+\frac{1}{2}+6)(6^2+\frac{1}{2}-6)=(30+\frac{1}{2})(42+\frac{1}{2})64+41=(62+21+6)(62+21−6)=(30+21)(42+21)
⋯\cdots⋯
194+14=(192+12+19)(192+12−19)=(342+12)(380+12)19^4+\frac{1}{4}=(19^2+\frac{1}{2}+19)(19^2+\frac{1}{2}-19)=(342+\frac{1}{2})(380+\frac{1}{2})194+41=(192+21+19)(192+21−19)=(342+21)(380+21)
204+14=(202+12+20)(202+12−20)=(380+12)(420+12)20^4+\frac{1}{4}=(20^2+\frac{1}{2}+20)(20^2+\frac{1}{2}-20)=(380+\frac{1}{2})(420+\frac{1}{2})204+41=(202+21+20)(202+21−20)=(380+21)(420+21)
(14+14)×(34+14)×((54+14)×⋯×((194+14)(24+14)×(44+14)×((64+14)×⋯×((204+14)=(0+12)(2+12)(2+12)(6+12)×(6+12)(12+12)(12+12)(20+12)×⋯×(342+12)(380+12)(380+12)(420+12)=(0+12)(420+12)=0+1840+1=1841\frac{(1^4+\frac{1}{4})\times(3^4+\frac{1}{4})\times((5^4+\frac{1}{4})\times \cdots \times((19^4+\frac{1}{4})}{(2^4+\frac{1}{4})\times(4^4+\frac{1}{4})\times((6^4+\frac{1}{4})\times \cdots \times((20^4+\frac{1}{4})}\\ =\frac{(0+\frac{1}{2})(2+\frac{1}{2})}{(2+\frac{1}{2})(6+\frac{1}{2})} \times \frac{(6+\frac{1}{2})(12+\frac{1}{2})}{(12+\frac{1}{2})(20+\frac{1}{2})} \times \cdots \times \frac{(342+\frac{1}{2})(380+\frac{1}{2})}{(380+\frac{1}{2})(420+\frac{1}{2})}\\=\frac{(0+\frac{1}{2})}{(420+\frac{1}{2})}\\=\frac{0+1}{840+1}\\=\frac{1}{841}(24+41)×(44+41)×((64+41)×⋯×((204+41)(14+41)×(34+41)×((54+41)×⋯×((194+41)=(2+21)(6+21)(0+21)(2+21)×(12+21)(20+21)(6+21)(12+21)×⋯×(380+21)(420+21)(342+21)(380+21)=(420+21)(0+21)=840+10+1=8411