图论 —— 单源最短路

已于 2022-02-04 16:50:17 修改
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分类专栏： 笔记 OI 算法模板笔记 文章标签： 图论 算法 数据结构
于 2022-02-04 14:45:19 首次发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/122782632
本文详细介绍了单源最短路径问题，包括Dijkstra算法（正权边）、Bellman-Ford算法（支持负权边）和SPFA算法（队列优化的Bellman-Ford）。Dijkstra算法不适用于负权边，而SPFA在处理负权边时可能遇到最坏情况的时间复杂度为O(nm)。同时，SPFA可用于判断图中是否存在负环。

最短路算法的知识图谱如下。
图待补充。

单源最短路径（single source shortest path SSAP）

给定一个带权有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,

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图论 —— 多源最短路
努力中的老周的专栏
02-05 868
多源最短路 相比较与单源最短路问题，多源最短路问题简单了很多。 多源最短路只有一个 Floyd 算法。 Floyd 算法其实是使用动态规划的思想实现的，核心是三重循环。 设定 nnn 表示图中顶点 数据定义 const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; //d[i][j] 表示从顶点i到顶点j的最短路径 //初始值d，就是邻接矩阵中所有值的边 LL d[N][N]; 初始化d for (LL i=1; i<=n; i++) { for (LL j=1;
最短路问题 Bellman-Ford（单源最短路径）(图解)
m0_63658130的博客
04-27 8267
最短路问题 Bellman-Ford 单源最短路径 图解
单源点最短路径算法流程（Dijkstra）
ziyang的博客
08-19 397
代码及实现：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41596915/article/details/104098046
图论；单源最短路径；拓扑排序+松弛（有向无回路）；Bellman-Ford(回路，负权回路);Dijkstra(无负权，可回路)；可以用最小堆实现算法的优化；
happylife1527的专栏
08-30 873
http://blog.youkuaiyun.com/qq120848369/article/details/5449431 #include    using namespace std;    #define NoEdge 1000 //NoEdge表示无法连通   #define NIL -1 //表示无前驱   #define GRAY 0 //表示正在拓展的顶点   #define W
图论--单源最短路-稠密图 Dijkstra求最短路 I
wow_awsl_qwq的博客
01-25 449
https://www.acwing.com/problem/content/851/ 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。 请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。 输入格式 第一行包含整数 n 和 m。 接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。 输出格式 输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。 如果路径不存在，则输出 −1。 数据范围 1
图详解第五篇：单源最短路径--贝尔曼-福特(Bellman-Ford)算法
m0_70980326的博客
10-20 8456
单源最短路径--Bellman-Ford算法（可处理带负权路径的图）
带权单源最短路发[稠密图]（Dijkstra）
weixin_30908649的博客
04-19 207
对于稠密图，采用邻接矩阵较为合适 所以我们先构建一个邻接矩阵 typedef int Vertex; typedef int WeightType; //图 typedef struct MyGraph { int v, e; WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; }MyGraph; //顶点信息...
【算法】图论——单源最短路问题
m0_73904148的博客
12-09 1794
邻接矩阵存储图判断一个顶点是否已经确定最短路的数组从起点到第i个点的距离数组。距离数组中可能暂时存储的不是最短路，具体看上面的判断数组题目链接：邻接表边的权值表距离表判断表，用于判断该顶点是否遍历过堆，使用STL中的priority_queueedges[M]：用于存储所有边，M为边的数量dis[N]：用于存储经过一次松弛操作后的顶点距离backup[N]：dis的拷贝为什么要有backup？
图论——单源最短路的扩展应用
m0_70897036的博客
01-28 1563
有一天，琪琪想乘坐公交车去拜访她的一位朋友。由于琪琪非常容易晕车，所以她想尽快到达朋友家。现在给定你一张城市交通路线图，上面包含城市的公交站台以及公交线路的具体分布。已知城市中共包含nnn个车站（编号1～n1～n1～n）以及mmm条公交线路。每条公交线路都是 单向的，从一个车站出发直接到达另一个车站，两个车站之间可能存在多条公交线路。琪琪的朋友住在sss号车站附近。琪琪可以在任何车站选择换乘其它公共汽车。请找出琪琪到达她的朋友家（附近的公交车站）需要花费的最少时间。输入格式 输入包含多组测试数据。每组测试数
图论——单源最短路的综合应用
m0_70897036的博客
01-28 883
我们把边权大于x的边权置为1，小于等于x的边权置为0，这样一来图就是一个只有0，1边权的图，我们可以求出一条从1到n的最短路径，如果路径长度。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。怎样走，才需要最少的时间？2.对于答案右边的区间，x变大了，大于x的边数就会减小，即大于x的边数小于k，同样满足性质；2.对于答案左边的区间，x变小了，大于x的边数就会增加，即大于x的边数大于k，不满足性质。
图论——单源点最短路径建图方式
m0_70897036的博客
01-27 1128
单源最短路径问题(Single Source ShortestPath,SSSP问题)是说，给定一张有向图GVEV是点集，E是边集，∣V∣n∣E∣m，节点以1n之间的连续整数编号，xyz描述一条从x出发，到达y，长度为z的有向边。设1号点为起点，求长度为n的数组dist，其中disti表示从起点1到节点i的最短路径的长度。
单源最短路Dijkstra算法以及图解 详
SamGeren的博客
08-15 738
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。 基本思想 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。 此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。 初始时，S中...
算法笔记16：单源最短路径(Dijkstra算法)
SGT的博客
06-05 655
最短路径加权有向图的实现最短路径的普适算法Dijkstra算法无环加权有向图的最短路径算法Bellman-ford算法的实现 数学建模大赛中很多问题都能归约到下面的问题：从一副航线图中找到从一个城市到另外一个城市中代价最少的路线，这个代价可能是距离最近、花费最少或者时间最短，表示这些问题的数据结构是加权有向图。如下图所示，蓝色是从0到6的最短路径，是加权图和有向图的结合。 加权有向图的实现 和加...
图论 —— 求解最短路径（Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法）
知其然 知其所以然
12-12 5141
目录1.最短路径认识最短路径最短路径的分类2.单源最短路径Dijkstra算法Dijkstra算法的大致思想Dijkstra算法的大致流程图Dijkstra算法代码如下Dijkstra算法的缺陷Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法的大致思想Bellman-Ford算法的大致流程Bellman-Ford算法代码如下Bellman-Ford算法的优缺点3.多源最短路径Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法的大致思想Floyd-Warshall算法的大致流程图Floy
浅谈下利用vector对map进行一种排序
a1748250的博客
02-13 450
pair可以将两个数据放在一起，跟结构体似的，位于第一个的数据是key，这相当与一个索引，位于第二个的相当于key对应的值。//这种方法，可以将a中的元素拷贝到b中。我们都知道在STL种map是对key进行一种升序。那么如果我们想对得到map中value进行排序呢。那访问索引就是 a.first,访问值就是a.second啦。比如：pair<string,int>a("abc",3);然后就可以用sort对arr进行排序啦。
图论（单源最短路径）
dzy521的博客
04-06 3504
一、基础 二、Bellman-Ford算法 struct edge //边 { int u, v; int cost; }edge[maxn]; int dis[maxn], pre[maxn]; //跑完Bellaman_Ford后，dis数组是从源点s到各点的最短路径，pre记录路径 int n, m, s; int Bellman_Ford() { for (int i = 1; i <= n; ++i) //初始化 dis[i] = (i == s ? 0 : inf);
最小费用流的最短路径算法和Ford单源最短路径算法（图解）
zhang35的博客
02-19 3597
最小费用流的负回路算法，是先任意分配流量v0，再将流量调整到权值较小的边上，参考： 基于Floyd算法的最小费用流的负回路算法（图解） 而最小费用流的最短路径算法，则是从0流开始，往最短路径上分配流量，直到流量达到v0为止。 最小费用流的最短路径算法图例 容量-费用网络，初始分配0流： 找出残余容量网络上的最短路径：s->2->t（距离为4），分配5个单位流量，得到f1： 更新残余...
单源最短路径Dijkstra算法的思想、详细步骤、代码
地球太危险了吧
04-13 9038
目录 一、算法思想 二、算法详细步骤 三、伪代码 + C++代码 四、算法复杂度分析 五、算法改进 六、应用案例 一、算法思想 Dijkstra算法本质上是一个贪心算法，其基本思想是：设置一个顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。 该算法适用：边权为正、有向无向都适用。 二、算法详细步骤 假设： 1）已知带权图G = （V，E）。 ...
C++11 中 vector 的基本操作及使用注意事项
生命在于折腾！
10-22 7477
STL_vector 1. 基本操作 1.1 初始化 std::vector<int> a (5); //0,0,0,0,0 std::vector<int> b (5,1); //1,1,1,1,1 std::vector<int> c = {1,2,3,4,5,6}; 1.2 赋值 std::vector<int> foo (3,0); std::vector<int> bar (5,0); bar = foo; //Copies all
单源最短路
最新发布
03-19
### 单源最短路径算法概述 单源最短路径算法旨在计算从某个特定起点出发到达图中其他所有节点的最短路径长度。这类算法适用于带权重的有向图或无向图，其中每条边都有一个非负或者可能为负的权重值[^1]。 #### 常见的单源最短路径算法及其特性 以下是几种常见的单源最短路径算法： 1. **Dijkstra算法** - Dijkstra算法基于贪心策略，通过逐步扩展当前已知的最短路径来更新其他顶点的距离估计。该算法假设所有的边权均为非负数，因此不支持含有负权边的图结构[^2]。 - 它的主要特点是优先选择距离最小的未访问节点进行扩展，并利用这些节点的信息进一步优化剩余节点的距离估计值[^4]。 2. **Bellman-Ford算法** - Bellman-Ford算法能够处理含负权边的图，甚至可以检测是否存在负环（即总权重为负的循环路径），这使得其适用范围更广[^3]。 - 此算法通过对每一条边重复执行松弛操作最多 \(V-1\) 次（\(V\) 表示顶点数量），从而确保最终得到的结果是最优解。 3. **Floyd-Warshall算法** - 虽然严格意义上不属于单源最短路径范畴，但它可以通过动态规划的方式高效地解决多对多之间的最短路径问题，在某些场景下也可以间接服务于单源需求。 --- ### 算法实现详解 #### 1. Dijkstra算法 (Python 实现) 下面是一个简单的 Python 版本的 Dijkstra 算法实现，使用堆队列模块 `heapq` 来加速选取下一个要访问的节点过程: ```python import heapq def dijkstra(graph, start): distances = {node: float('inf') for node in graph} # 初始化所有节点距离为无穷大 distances[start] = 0 # 设置起始节点距离为零 priority_queue = [(0, start)] # 创建一个小根堆存储待探索节点 while priority_queue: current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue) if current_distance > distances[current_node]: continue for neighbor, weight in graph[current_node].items(): distance = current_distance + weight if distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = distance heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor)) return distances ``` 此函数接受两个参数：一个是表示加权图的数据字典形式；另一个是指定的初始节点名称字符串。返回结果则是一张映射表记录着各个目标节点相对于原点的最佳可达成本。 #### 2. Bellman-Ford算法 (C++ 实现) 这里提供了一个 C++ 的贝尔曼福特算法模板代码片段供参考学习： ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct Edge { int src, dest, weight; }; void bellmanFord(vector<Edge> edges, int V, int E, int source){ vector<int> dist(V, INT_MAX); dist[source] = 0; for(int i=0;i<V-1;i++){ for(auto edge : edges){ if(dist[edge.src]!=INT_MAX && dist[edge.src]+edge.weight<dist[edge.dest]){ dist[edge.dest]=dist[edge.src]+edge.weight; } } } // Check negative cycle bool hasNegativeCycle=false; for(auto edge : edges){ if(dist[edge.src]!=INT_MAX && dist[edge.src]+edge.weight<dist[edge.dest]){ cout << "Graph contains a negative-weight cycle"; hasNegativeCycle=true; break; } } if(!hasNegativeCycle){ for(int i=0;i<V;i++) printf("%d\t%d\n",i,dist[i]); } } ``` 上述程序定义了一种数据结构用来描述连接两结点间的弧线以及它们所携带的价值量度单位——重量。接着按照标准流程迭代调整直至收敛完成整个运算逻辑。 --- ### 总结对比分析 | 属性 | Dijkstra Algorithm | Bellman–Ford Algorithm | |-------------------|----------------------------|------------------------------| | 时间复杂度 | O((E+V)log⁡(V)) | O(VE) | | 是否允许负权 | 否 | 是 | | 应用领域 | 地理信息系统(GIS),路由协议等 | 计算机网络流量工程等领域 | 尽管两种技术都致力于寻找单一源头至目的地间最优行走路线方案，但由于各自设计初衷不同导致实际表现有所差异。具体选用哪一种取决于应用场景的具体约束条件比如性能指标要求或是输入数据特征等因素影响下的综合考量[^1]. ---
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