手写欧拉方法（Euler‘s method）解常微分方程（ODE）

问题$1$：$\frac{dy}{dx}=y$

给定方程 $\frac{dy}{dx}=y,y(0)=1$，请用 $\Delta x=1$，求 $y(2)$ 的值。

手写求解过程

我们手写出整个欧拉方法逼近的过程数据表。表格的内容包括三个部分：$x$、$y$、$\frac{dy}{dx}$。

$y(0)$ 值

根据题目，我们知道 $x=0$ 的时候 $y(0)=1$，对应的 $\frac{dy}{dx}=y$，我们带入对应的数据可得：$\frac{dy}{dx}=1$。这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$0$	$1$	$1$

求 $y(1)$ 值

根据题目，$\Delta x=1$，因此 $x=0+1=1$，对应的 $y(1)=y(0)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_0=1+1\ast 1=2$，将 $x$ 和 $y$ 的数据带入到 $\frac{dy}{dx}=y$，可得对应的 $\frac{dy}{dx}=2$。这样表格更新为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$0$	$1$	$1$
$1$	$2$	$2$

求 $y(2)$ 值

根据题目，$\Delta x=1$，因此 $x=1+1=2$，对应的 $y(2)=y(1)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_1=2+1\ast 2=4$，将 $x$ 和 $y$ 的数据带入到 $\frac{dy}{dx}=y$，可得对应的 $\frac{dy}{dx}=4$。这样表格更新为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$0$	$1$	$1$
$1$	$2$	$2$
$2$	$4$	$4$

这样，我们就手工计算出 $y(2)=4$。

问题$2$：$\frac{dy}{dx}=x-y-2$

给定 ODE：$\frac{dy}{dx}=x-y-2,f(-1)=3$，要求用三步估算 $f(2)$ 的数据。

手写求解过程

计算 $\Delta x$

根据题目要求，我们可以计算出 $\Delta x$。$\Delta x=\frac{2-(-1)}{3}=1$。

$f(-1)$ 数据

根据题目，$f(-1)=3$，$\frac{dy}{dx}=x-y-2$，代入对应的 $x$ 和 $y$，可得 $\frac{dy}{dx}=x-y-2=(-1)-3-2=-6$，这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$-1$	$3$	$-6$

计算 $f(0)$

$f(0)=f(-1)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_{x=-1}=3+1\ast (-6)=-3$。$\frac{dy}{dx}=x-y-2=0-(-3)-2=1$。这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$-1$	$3$	$-6$
$0$	$-3$	$1$

计算 $f(1)$

$f(1)=f(0)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_{x=0}=-3+1\ast 1=-2$。$\frac{dy}{dx}=x-y-2=1-(-2)-2=1$。这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$-1$	$3$	$-6$
$0$	$-3$	$1$
$1$	$-2$	$1$

计算 $f(2)$

$f(2)=f(1)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_{x=1}=-2+1\ast 1=-1$。$\frac{dy}{dx}=x-y-2=2-(-1)-2=1$。这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$-1$	$3$	$-6$
$0$	$-3$	$1$
$1$	$-2$	$1$
$2$	$-1$	$1$

这样，我们计算出 $f(2)=-1$。

问题$3$：$\frac{dy}{dx}=3x+2y+1,y(0)=k,\Delta x=2$

给定 ODE 方程为：$\frac{dy}{dx}=3x+2y+1,y(0)=k,\Delta x=2$，使用欧拉方法计算出 $y(2)\approx 1$，求 $k$ 的值。

手写求解过程

$y(0)$ 数据

${\frac{dy}{dx}}_{x=0,y=k}=3x+2y+1=3\ast 0+2\ast k+1=2k+1$。这样对应的表格为：

$x$	$y$	$\frac{dy}{dx}$
$0$	$k$	$2k+1$

计算 $y(2)$

$f(2)=f(0)+\Delta x\ast {\frac{dy}{dx}}_{x=1}=(k)+2\ast (2k+1)=5k+2$，同时，题目告诉我们 $y(2)\approx 1$，也就是 $5k+2=1\Rightarrow k=-\frac{1}{5}=-0.2$。

问题$4$：给定 $f(0)=1$ 和对应的导数 $f^{\prime }$，求 $f(3)$

给定 $f(0)=1$，导数表如下，求 $f(3)$。

x	0	1	2	3
$f^{\prime }(x)$	2	-1	1	3

本题和上面的问题相比，不需要计算

手写求解过程

本题给出了导数表 $f^{\prime }(x)$，我们可以计算出 $\Delta y_n$，根据导数定义，$\Delta y_n\approx f^{\prime }(x_n)\Delta x$。

计算 $\Delta x$

根据题目给出的导数表，我们知道 $\Delta x=1$。

$f(0)$ 数据

$\Delta y_0=f^{\prime }(x_0)\Delta x_0$ 数据代入可得：$\Delta y_0=f^{\prime }(x_0)\Delta x=2\ast 1=2$。

$n$	$x_n$	$y_n$	$f^{\prime }(x_n)$	$\Delta y_n$
$0$	$0$	$1$	$2$	$2$

计算 $f(1)$

$\Delta y_1=f^{\prime }(x_1)\Delta x=-1\ast 1=-1$。

$n$	$x_n$	$y_n$	$f^{\prime }(x_n)$	$\Delta y_n$
$0$	$0$	$1$	$2$	$2$
$1$	$1$	$3$	$-1$	$-1$

计算 $f(2)$

$\Delta y_2=f^{\prime }(x_2)\Delta x=1\ast 1=1$。

$n$	$x_n$	$y_n$	$f^{\prime }(x_n)$	$\Delta y_n$
$0$	$0$	$1$	$2$	$2$
$1$	$1$	$3$	$-1$	$-1$
$2$	$2$	$2$	$1$	$1$

计算 $f(3)$

$\Delta y_3=f^{\prime }(x_3)\Delta x=3\ast 1=3$。

$n$	$x_n$	$y_n$	$f^{\prime }(x_n)$	$\Delta y_n$
$0$	$0$	$1$	$2$	$2$
$1$	$1$	$3$	$-1$	$-1$
$2$	$2$	$2$	$1$	$1$
$3$	$3$	$3$	$3$	$3$

因此对应的 $f(3)=3$。