AtCoder题解 —— AtCoder Beginner Contest 186 —— D - Sum of difference —— 前缀和

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题目链接

AtCoder Beginner Contest 186 D 题，https://atcoder.jp/contests/abc186/tasks/abc186_d。

Problem Statement

Given are N integers $A_1,\cdots ,A_N$. Find the sum of $|A_i-A_j|$ over all pairs $i,j$ such that $1\le i<j\le N$.
In other words, find ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N|A_i-A_j|$.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:
$N$
$A_1\cdots A_N$

Output

Print the answer.

Sample 1

Sample Input 1

3
5 1 2

Sample Output 1

8

Explaination

We have $|5-1|+|5-2|+|1-2|=8$.

Sample 2

Sample Input 2

5
31 41 59 26 53

Sample Output 2

176

Constraints

• $2\le N\le 2\ast 10^5$
• $|A_i|\le 10^8$
• $A_i$ is an integer.

题解报告

题目翻译

给 $N$ 个整数 $A_1,\cdots ,A_N$。求 ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N|A_i-A_j|$。

题目分析

D 题有点水啊。又是一个数学题。当然如果我们使用双重循环来解，即如下代码：

for (int i=1; i<=n-1; i++) {
	for (int j=i+1; j<=n; j++) {
		计算和
	}
}

这样的代码肯定会得到一个 TLE。因为根据数据规模 $2\ast 10^5$，上面的算法是一个 $O(N^2)$ 级别，也就是说，我们需要计算 $2\ast 10^5\ast 2\ast 10^5=4\ast 10^{10}$，这个数量级不是 2 秒能完成的。因此我们需要对算法进行优化。

如何去了求绝对值

本题中我们需要计算绝对值，如何将绝对值删除？方法很简单，只需要将数据排序，采用逆序，这样我们就可以保证 $A_i>Aj,i<j$。

数学优化

下面我们来分析一下 ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N(A_i-A_j)$ 到底是什么。我们通过数学展开，可以得到以下的计算方法：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^N(A_i-A_j) \\ =(A_1-A_2)+(A_1-A_3)+\cdots +(A_1-A_n) \\ +(A_2-A_3)+(A_2-A_4)+\cdots +(A_2-A_n) \\ \cdots \\ +(A_{n-1}-A_n) \end{gathered}$$
我们将第二行进行合并得到：
$$\begin{gathered} (A_1-A_2)+(A_1-A_3)+\cdots +(A_1-A_n) \\ =(n-1)\ast A_1-(A_2+A_3+\cdots +A_N) \end{gathered}$$
这样 $(A_2+A_3+\cdots +A_N)$ 不就是前 N 项前缀和减去第 1 项前缀和，即 $sum[N]-sum[1]$。这样第二行就可以表示为 $(n-1)\ast A_1-(sum[N]-sum[1])$。
我们将第三行进行合并得到：
$$\begin{gathered} (A_2-A_3)+(A_2-A_4)+\cdots +(A_2-A_n) \\ =(n-2)\ast A_2-(A_3+A_4+\cdots +A_N) \end{gathered}$$
这样 $(A_2+A_3+\cdots +A_N)$ 不就是前 N 项前缀和减去第 2 项前缀和，即 $sum[N]-sum[2]$。这样第二行就可以表示为 $(n-2)\ast A_2-(sum[N]-sum[2])$。
以此类推。考虑到每行的第一项，$(n-1)\ast A_1$，由于有乘法存在，很有可能导致数据溢出。我们将每行的第一行进行合并。可得：$(n-1)\ast A_1+(n-2)\ast A_2+\cdots +A_{n-1}=(A_1+A_2+\cdots +A_{n-1})+(A_1+A_2+\cdots +A_{n-2})+\cdots +(A_1+A_2)+(A_1)=sum[n-1]+sum[n-2]+\cdots +sum[1]$。
这样，我们通过前缀和，将最终的计算变为：

for (int i=1; i<n; i++) {
	ans += sum[n-i]-(sum[n]-sum[i]);
}

数据范围估计

根据题目，最大的 N 为 2e5，$A_i$ 最大值为 1e8，因此最大的前缀和可能是 $2\ast 10^5\ast 10^8=2\ast 10^{13}$，超过了 int 的范围，因此需要用 long long 来保存数据。
真是倒霉，在现场竞赛中，竟然忘记分析了这个细节，导致 WA。我竟然会认为 ans 用 long long 表示不够，需要更大的数据。郁闷啊。

AC 参考代码

//https://atcoder.jp/contests/abc186/tasks/abc186_d
//D - Sum of difference
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;
 
//#define __LOCAL
 
typedef long long LL;
 
const int MAXN=2e5+4;
LL a[MAXN];
LL sum[MAXN];

int main() {
#if !defined(__LOCAL)
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
#endif
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1, a+n+1, greater<int>());
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
 
    LL ans=0;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        ans += sum[n-i]-(sum[n]-sum[i]);
    }
 
    //输出
    cout<<ans<<"\n";
    //print(ans);
 
    return 0;
}

时间复杂度

$O(N\ast logN)$。

空间复杂度

O(N)。